Lezione (2024-11-05)

Spazio delle colonne e spazio delle righe di una matrice

Data una matrice $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c|c|c} \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{2} & \mathbf{c}_{3} \end{array}\right]$:

• $C(A) = span(\Set{\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \mathbf{c}_{3}})$ è lo spazio delle colonne di $\mathbf{A}$.
• $R(A) = span(\Set{\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}})$ è lo spazio delle righe di $\mathbf{A}$.

$$dim(R(\mathbf{A})) = rg(\mathbf{A})$$

Coordinate di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V$, ogni suo elemento si può esprimere come la combinazione lineare:

$$\mathbf{v} = \sum_{i = 1}^{n} v_{1} \mathbf{b}_{i}$$

Gli scalari $v_{1}, \ldots, v_{n}$ sono detti coordinate di $\mathbf{v}$ rispetto alla base $\mathcal{B} = \Set{\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{n}}$.

D’ora in poi chiameremo $T_{\mathcal{B}}: V \to \R^{n}$ la funzione biunivoca e lineare che associa ad ogni vettore di $V$ una ennupla formata dalle coordinate di quel vettore.

Funzioni lineari

Dati 2 spazi vettoriali $V$ e $V'$, una funzione che associa elementi di $V$ con elementi in $V'$ è detta lineare se:

$$f(\lambda \mathbf{v} + \mu \mathbf{w}) = \lambda\ f(\mathbf{v}) + \mu\ f(\mathbf{w})$$

Gli spazi $V$ e $V'$ sono detti rispettivamente dominio e codominio di $f$. Se $V = V'$ allora la funzione è detta endomorfismo.

Se una funzione lineare è biunivoca, allora essa viene detta isomorfismo e $V$ e $V'$ hanno la stessa dimensione e sono detti spazi isomorfi.

La funzione inversa di una funzione lineare è anch’essa lineare.

La composizione di 2 funzioni lineari è anch’essa una funzione lineare.

Rappresentazione sotto forma di matrice

Una funzione lineare è sempre rappresentata da una certa matrice, che varia a seconda della base scelta per il dominio e il codominio (più avanti vedremo come trovare questa matrice rappresentativa).

Data una funzione lineare $f$, rappresentata da una matrice $\mathbf{A}$, allora:

$$f(\mathbf{v}) = \mathbf{A}\ \mathbf{v}$$

Una funzione lineare non è altro che la moltiplicazione di un vettore per la sua matrice rappresentativa.

Se la matrice è quadrata, allora $f$ è un endomorfismo, altrimenti la dimensione del codominio sarà diversa da quella del dominio.

Composizione di funzioni lineari

La composizione di 2 funzioni lineari, ovvero applicare una trasformazione $g$ al risultato della trasformazione $f$ del vettore $\mathbf{v}$ si scrive così:

$$(g \circ f)(\mathbf{v}) = g(f(\mathbf{v}))$$

In termini di matrici, se la funzione $g$ è rappresentata da una matrice $\mathbf{A}$ e la funzione $f$ è rappresentata da una matrice $\mathbf{B}$, allora la composizione è il risultato di una moltiplicazione tra le 2 matrici rappresentative.

$$(g \circ f)(\mathbf{v}) = A\ B\ \mathbf{v}$$