Lezione (2025-11-26)

Filtri non lineari

I filtri non lineari sono complessi da realizzare nel dominio analogico, bisognerebbe usare una componentistica non lineare. Sui segnali numerici invece tutto è più semplice e si possono sfruttare i vantaggi offerti dalla non linearità.

Rimappatura dei livelli

L’operazione di quantizzazione è un’operazione non lineare. Sull’output si può agire nuovamente in maniera non lineare usando funzioni che rimappano i livelli (per esempio per espandere i livelli in un certo intervallo e comprimere quelli negli altri).

Operazioni di questo tipo vengono usate per:

• evidenziare caratteristiche del segnale o del suo contenuto;
• cancellare alcune variazioni;
• estrarre alcune parti, azzerandone altre;

Filtri di rango

I filtri di rango si basano sull’ordinamento dei valori all’interno della finestra di filtraggio e poi sul calcolo di una media pesata basata sul valore (rango) anziché sulla posizione dei campioni.

L’effetto dipende dalla dimensione della finestra e dai pesi utilizzati.

Alcuni filtri di rango molto usati sono:

• massimo: $a_i = \begin{cases} i \neq N \implies 0 \\ i = N \implies 1 \end{cases}$;
• minimo: $a_i = \begin{cases} i \neq 1 \implies 0 \\ i = 1 \implies 1 \end{cases}$;
• mediana: $a_i = \begin{cases} i \neq \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \implies 0 \\ i = \lfloor \frac{N}{2} \rfloor \implies 1 \end{cases}$;

Note

Un filtro mediano si usa solitamente per rimuovere variazioni non volute nel segnale, particolarmente quelle di tipo impulsivo.

Si riescono ad eliminare picchi isolati senza introdurre un effetto di passa-basso (che abbassa e allarga i picchi ma non li rimuove completamento).

I filtri di rango presentano una maggiore complessità computazionale, dovuta al bisogno di eseguire l’operazione di sorting (che al minimo è $O(N\ \fLog{N})$).

Discrete Fourier Transform (DFT)

La DFT è l’analogo discreto della formula che restituisce i coefficienti della serie di Fourier. La IDFT (inversa) è l’analogo della serie (che ricostruisce il segnale nel tempo).

• DFT:

  $$X[k] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n = 0}^{N - 1} x[n]\ e^{- j 2 \pi \frac{k}{N} n}$$

• IDFT:

  $$x[n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} X[k]\ e^{j 2 \pi \frac{k}{N} n}$$

Funzioni base

Le armoniche campionate $e^{- j 2 \pi \frac{k}{N} n}$ sono $N$ sinusoidi complesse, discretizzate nel tempo e prendono il nome di funzioni base. La $k$-esima funzione base è una sinusoide a frequenza pari a $k$ volte la frequenza fondamentale (ovvero la frequenza che compie un intero ciclo nella durata del segnale).

La discretizzazione del segnale in frequenza, rende il segnale originale periodico nel tempo. Allo stesso modo in cui la discretizzazione nel tempo rendeva il segnale periodico nel dominio delle frequenze (come nella serie di Fourier, dato che i coefficienti sono discretizzati e non continui).

Se un segnale discreto ha $N$ campioni, la sua FT sarà una funzione continua e periodica. La DFT rappresenta la discretizzazione di tale rappresentazione. Poi quando si applica la trasformata inversa si genera anche una periodizzazione nel tempo (si pensi al contrario di una trasformata di Fourier).

Proprietà della DFT

La DFT mantiene tutte le proprietà della FT (linearità, invertibilità, simmetria, traslazione, etc…)

Teorema di Rayleigh

Per calcolare l’energia di una sequenza discreta, è possibile lavorare direttamente sui coefficienti nel dominio della frequenza:

$$E_x = \sum_{n = 0}^{N - 1} x[n]^2 = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X[k]^2$$