Teorema di Weierstrass ed estremi vincolati

Teorema di Weierstrass

Problema: Stabilire le condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi assoluti di una funzione e procedere alla loro determinazione.

Sia $f: A \subseteq \R^n \to \R$ e assumiamo che $A$ sia un insieme limitato e chiuso, e che $f$ sia continua su $A$ . Allora esistono $\max_A f$ e $\min_A f$ .

Sapendo che esistono massimo e minimo assoluti, essi si trovano in uno o più punti del dominio. Distinguiamo i seguenti casi per un punto generico $\mathbf{x}^*$ :

$\mathbf{x}^* \in \dot{A}$ e $\nabla f(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$ , allora si ricade nei casi trattati nella lezione precedente (punti stazionari interni).
$\mathbf{x}^* \in \dot{A}$ ma $\nabla f(\mathbf{x}^*)$ non esiste, allora $\mathbf{x}^*$ è definito punto singolare e richiede un’analisi diretta.
$\mathbf{x}^* \in \partial A$ , il punto è un candidato per un estremo vincolato e richiede un’analisi specifica.

Ricerca di punti di massimo e minimo sulla frontiera del dominio

Gli estremi vincolati di $f$ sono i punti di massimo o di minimo che giacciono sulla frontiera del suo dominio.

Frontiera tramite parametrizzazione

Per semplicità, consideriamo il caso $A \subseteq \R^2$ (il discorso si estende a dimensioni superiori con parametrizzazioni più complesse). Si definisce parametrizzazione di $\partial A$ una funzione:

\gamma: [a,b] \to \R^2 = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))

che soddisfa le seguenti condizioni:

$\gamma_1, \gamma_2: [a,b] \to \R$ ;
$\gamma_1, \gamma_2 \in C^1([a,b])$ ;
$\gamma([a,b]) = \partial A$ ;

La parametrizzazione è una funzione che, al variare del parametro reale $t \in [a,b]$ , ha come immagine la curva che coincide con la frontiera di $A$ .

In questo modo, trovare $\min_{\partial A} f$ e $\max_{\partial A} f$ si riduce a trovare $\min_{[a,b]} (f \circ \gamma)$ e $\max_{[a,b]} (f \circ \gamma)$ . Poiché $\gamma$ è una funzione di una variabile, si può procedere con le tecniche studiate nel corso di Analisi 1.