Moltiplicatori di Lagrange e funzione implicita

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

https://www.youtube.com/watch?v=8mjcnxGMwFo

Consideriamo l’insieme $A = \Set{\mathbf{p} \in \R^2 \mid g(\mathbf{p}) \leq 0}$, dove $g \in C^1(\R^2)$. Definiamo la sua frontiera come $\partial A = \Set{\mathbf{p} \in \R^2 \mid g(\mathbf{p}) = 0}$. $\partial A$ rappresenta un vincolo (una curva nel piano).

Supponiamo di voler massimizzare o minimizzare una funzione $f \in C^1(\R^2)$ su $\partial A$. Assumiamo le seguenti condizioni:

• $\exists\ \min_{\partial A} f(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p}_0)$, oppure $\exists\ \max_{\partial A} f(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p}_0)$;
• $\exists\ \nabla g(\mathbf{p}_0) \neq \mathbf{0}$;

In queste condizioni, esiste un numero reale $\lambda_0$, noto come moltiplicatore di Lagrange, tale che il punto $(x_0, y_0, \lambda_0)$ sia un punto stazionario (libero) della funzione lagrangiana definita come:

$$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\ g(x, y)$$

Equivalentemente, deve esistere $\lambda_0$ tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

$$\begin{cases} g(\mathbf{p}_0) = 0 \\ \nabla f(\mathbf{p}_0) + \lambda_0 \nabla g(\mathbf{p}_0) = \mathbf{0} \end{cases}$$

La prima condizione assicura che $\mathbf{p}_0$ si trovi sulla frontiera di $A$, mentre la seconda condizione implica che i gradienti di $f$ e di $g$ siano paralleli in $\mathbf{p}_0$.

Il moltiplicatore $\lambda$ è il fattore di proporzionalità che lega i gradienti, dato che essi sono linearmente dipendenti in quel punto.

Un punto $\mathbf{p}_0$ che soddisfa queste condizioni (ovvero dove la curva di livello di $f$ e la frontiera $\partial A$ sono tangenti) è definito punto stazionario vincolato della funzione $f$ rispetto al vincolo $\partial A$.

Teorema della funzione implicita di U. Dini

Supponiamo che la funzione $g$ sia $C^1$ in un intorno del punto $\mathbf{p}_0 = (x_0, y_0)$, che $g(\mathbf{p}_0) = 0$ e che $\frac{\partial g}{\partial y}(\mathbf{p}_0) \neq 0$. In questo caso, esistono un intorno $B(\mathbf{p}_0, r)$ e un intervallo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ tali che:

• L’insieme $\Set{\mathbf{p} \in B(\mathbf{p}_0, r) | g(\mathbf{p}) = 0}$ può essere rappresentato come il grafico di una funzione $y = h(x): (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \to \R$;
• La derivata di $h(x)$ in $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ è: $h'(x) = - \frac{\frac{\partial g}{\partial x}(x, h(x))}{\frac{\partial g}{\partial y}(x, h(x))}$

Il teorema garantisce che la curva definita implicitamente da $g(\mathbf{p}) = 0$ può essere localmente espressa esplicitamente come $y = h(x)$. Questo risultato è fondamentale per studiare curve definite implicitamente (come circonferenze ed ellissi) senza la necessità di esplicitare la loro forma funzionale.