Distanza euclidea, insiemi e limiti in spazi reali

Distanza euclidea in $\R^n$

La distanza euclidea tra due punti è una funzione $d: \R^n \times \R^n \to [0, +\infty)$ definita:

$$d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{\sum_{i = 1}^n (q_i - p_i)^2}$$

Note

Il prodotto cartesiano ($\times$) si usa per indicare che ci sono due argomenti.

Intorno

Un intorno di raggio $r$ di un punto $\mathbf{p}_0$ è la palla aperta di centro $\mathbf{p}_0$ e raggio $r$:

$$B(\mathbf{p}_0, r) = \Set{\mathbf{p} \in \R^n \mid d(\mathbf{p}, \mathbf{p}_0) < r}$$

Tip

Il fatto che la palla è aperta significa che non si deve includere la sua circonferenza in caso di $\R^2$. In senso più generale non si deve includere la frontiera dell’insieme dell’intorno.

Punto di frontiera

Preso un insieme $A \subseteq \R^n$, un punto $\mathbf{p} \in \R^n$ si dice punto di frontiera di $A$ se:

$$\forall\ r > 0,\ B(\mathbf{p}, r) \cap A \neq \emptyset \land B(\mathbf{p}, r) \cap (\R^n \setminus A) \neq \emptyset$$

L’insieme dei punti di frontiera di $A$ è detto frontiera di $A$. Si denota con $\partial A$.

Insieme aperto e chiuso

Un insieme è detto chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera (cioè, $\partial A \subseteq A$). Viceversa, un insieme è detto aperto se ogni suo punto è un punto interno, ovvero, se per ogni $\mathbf{p} \in A$ esiste un intorno $B(\mathbf{p}, r)$ tale che $B(\mathbf{p}, r) \subseteq A$.

Insieme limitato

Un insieme è detto limitato se $\exists\ r > 0 \mid A \subseteq B(\mathbf{0}, r)$, ovvero se esiste un raggio abbastanza grande tale che una palla con centro nell’origine contenga tutto l’insieme $A$.

Parte interna di un insieme

L’insieme dei punti interni di $A$ è dato da tutti i punti di $A$ esclusi i punti di frontiera. Si denota con $\dot{A}$.

Punto isolato di un insieme

$\mathbf{p} \in A$ si dice punto isolato di $A$ se $\mathbf{p}$ non è un punto di accumulazione, cioè se:

$$\exists\ r > 0 \mid B(\mathbf{p}, r) \cap A = \Set{\mathbf{p}}$$

Limite di una funzione in $n$ variabili.

Sia $f: A \subseteq \R^n \to \R$ e sia $\mathbf{p}_0 \in \R^n$ punto di accumulazione di $A$. Si dice che:

$$\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(\mathbf{p}) = L \iff \forall\ \epsilon > 0, \exists\ \delta > 0 \mid \forall\ \mathbf{p} \in B(\mathbf{p}_0, \delta) \cap (A \setminus \{\mathbf{p}_0\}),\ |f(\mathbf{p}) - L| < \epsilon$$

In pratica, questa condizione significa che per ogni tolleranza $\epsilon > 0$, esiste un raggio $\delta > 0$ tale che se $\mathbf{p}$ è abbastanza vicino a $\mathbf{p}_0$ (cioè $\mathbf{p} \in B(\mathbf{p}_0, \delta) \cap (A \setminus \Set{\mathbf{p}_0})$), allora la distanza tra $f(\mathbf{p})$ e $L$ è minore di $\epsilon$ (cioè $|f(\mathbf{p}) - L| < \epsilon$). Se non esiste tale $\delta$ per un dato $\epsilon$, allora il limite non esiste.

La relazione tra $\delta$ e $\epsilon$ non è fissa, ma dipende dalla funzione considerata:

• $\epsilon$ indica la tolleranza che vogliamo sull’output della funzione. È il parametro che ‘comanda’: a seconda del suo valore $\delta$ può cambiare oppure no.
• $\delta$ indica quanto vicino all’input si sta considerando. In generale al diminuire di $\epsilon$ anche $\delta$ rimpicciolisce, infatti a volte si scrive $\delta(\epsilon)$.

Caution

Si esclude $\mathbf{p}_0$ dall’intorno perché non è detto che il valore del limite in un punto debba coincidere con il valore della funzione in quel punto.

Calcolo dei limiti

Unicità del limite

Sia $f: A \subseteq \R^n \to \R$ e sia $\mathbf{p}_0$ punto di accumulazione per $A$, se $\exists\ \lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(\mathbf{p}) = L$, allora $L$ è unico.

Se il limite di una funzione $f$ differisce quando ci si avvicina a $\mathbf{p}_0$ lungo due direzioni diverse, allora il limite non esiste.

Operazioni elementari

Dati $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(\mathbf{p}) = L$ e $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} g(\mathbf{p}) = M$:

• $\displaystyle \lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(\mathbf{p}) + g(\mathbf{p}) = L + M$
• $\displaystyle \lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(\mathbf{p})\ g(\mathbf{p}) = L\ M$
• Se $\forall\ \mathbf{p} \in A \setminus \Set{\mathbf{p}_0},\ g(\mathbf{p}) \neq 0$ e $M \neq 0$, allora $\displaystyle \lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} \frac{f(\mathbf{p})}{g(\mathbf{p})} = \frac{L}{M}$

Composizione di funzioni

Sia $F: \R \to \R$ una funzione continua e sia $h(\mathbf{p}) = F(f(\mathbf{p}))$, allora $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} h(\mathbf{p}) = F(L)$

Teorema del confronto

Siano $f, g, h: A \subseteq \R^n \to \R$ e supponiamo che $\forall\ \mathbf{p} \in A \setminus \{\mathbf{p}_0\},\ f(\mathbf{p}) \leq g(\mathbf{p}) \leq h(\mathbf{p})$ e che $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(\mathbf{p}) = \lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} h(\mathbf{p}) = L$, allora $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} g(\mathbf{p}) = L$.

Limite lungo direzioni

Sia $f: A \subseteq \R^n \to \R$ e $\mathbf{p}_0 \in A$ un punto di accumulazione di $A$. Allora sono equivalenti:

• Per ogni sottoinsieme $B \subseteq A$ per cui $\mathbf{p}_0$ è un punto di accumulazione per $B$, il limite di $f$ lungo $B$ esiste ed è uguale a uno stesso valore $L \in \R$, cioè $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f_{\vert B}(\mathbf{p}) = L$.
• Esiste un limite generale per $f$: $\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} f(p) = L$.

In questo caso, l’insieme $B$ rappresenta i punti che tendono a $\mathbf{p}_0$ lungo una direzione specifica.

Tip

Il teorema è efficace solo per dimostrare che il limite non esiste, dato che per dimostrare il contrario sarebbe necessario calcolare il limite per tutte le direzioni per cui $\mathbf{p}$ può arrivare a $\mathbf{p}_0$, incluse non solo rette ma anche qualsiasi altro tipo di curva.