Lezione (2025-11-19)

Dalla codificazione nasce un nuovo problema, ovvero ridurre il numero di bit emessi per rappresentare il segnale, senza diminuirne la qualità.

Esistono 2 tecniche che si basano sulla variazione differenziale del segnale e non sul suo valore assoluto:

Codificatore a modulazione delta

Con la modulazione delta, si codificano le variazioni (positive o negative) tra un campione e l’altro invece che i loro singoli valori.

Il passo $\Delta$ è la quantità fissa da aggiungere o sottrarre al campione corrente rispetto al precedente. Quindi dato che ci sono solo 2 possibili valori si possono codificare come 0 e 1.

Svantaggi

Il primo tipo di errore avviene quando ci sono variazioni brusche nel segnale, infatti la il segnale codificato non può scendere o salire a velocità maggiore di un $\Delta$ per campione.

Il secondo invece avviene nelle zone piatte, dato che il segnale deve continuare ad oscillare tra $\pm \Delta$ .

Visualizzazione degli errori

Codificatore DPCM

Il valore del campione successivo si basa sulla codifica dell’errore fatto su una predizione (che deriva da 1 o più campioni precedenti).

Quindi se l’errore di predizione sarà piccolo (succede quando il segnale predetto è molto correlato), serviranno pochi bit (codifica entropia).

Sistemi e filtri digitali

D’ora in poi non parleremo più di segnali continui nel tempo ( $x(t)$ ), ma useremo delle sequenze di campioni $x[n] = x_q(n\ T_c)$ .

Proprietà di segnali digitali

simmetria:
- pari: $x(t) = x(-t) \implies x[n] = x[-n]$ ;
- dispari: $x(t) = - x(-t) \implies x[n] = - x[-n]$ ;
guadagno: $a\ x(t) \implies a\ x[n]$ ;
ritardo: $x(t - \Delta t) \implies x[n - k]$ (segnale traslato di $k$ campioni);
fattore di scala: corrisponde a ricampionamenti del segnale, ovvero la compressione riduce il numero di campioni (e può introdurre aliasing, risolvibile con filtraggio LPF o interpolazione) e l’espansione fa aumentare il numero di campioni (per interpolazione o replica).
integrazione: l’integrazione diventa una somma dei valori del segnale;
derivazione: diventa una differenza finita tra il campione e il precedente: $\frac{1}{T_c} (x[n] - x[n - 1])$ ;

Statistiche di segnali digitali

valor medio: $\displaystyle \lim_{K \to \infty} \frac{1}{K} \sum_{k = - \frac{K}{2}}^\frac{K}{2} x[k]$
varianza: $\displaystyle \lim_{K \to \infty} \frac{1}{K} \sum_{k = - \frac{K}{2}}^\frac{K}{2} (x[k] - \overline{x})^2$
energia: $\displaystyle \sum_{k = -\infty}^{+\infty} (x[k])^2$
potenza: $\displaystyle \lim_{K \to \infty} \frac{1}{K} \sum_{k = -\frac{K}{2}}^\frac{K}{2} (x[k])^2$
cross-correlazione:
- segnali di energia: $\displaystyle \mathcal{R}_{xy}(k) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n]\ y[n + k]$
- segnali di potenza: $\displaystyle \mathcal{R}_{xy}(k) = \lim_{K \to \infty} \frac{1}{K} \sum_{n = - \frac{K}{2}}^\frac{K}{2} x[n]\ y[n + k]$

Istogramma

Dato un segnale discreto, è possibile calcolare al densità di probabilità dei livelli assunti dal segnale.

La PDF di un segnale di $N$ campioni e $L$ valori $v(l)$ è:

h[l] = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \begin{cases} x[n] = v(l) \implies 1 \\ \text{altrimenti} \implies 0 \end{cases}

Sistemi numerici

L’elaborazione dei segnali digitali prevede l’utilizzo di sistemi numerici, che a loro volta producono altri segnali digitali.

Il segnale in uscita può avere caratteristiche diverse rispetto a quello in ingresso (dimensionalità, rappresentazione dei campioni, etc…).

I sistemi numerici possono essere sia LTI che non-LTI.

Sistemi numerici LTI

linearità: $f(a\ x_1[n] + b\ x_2[n]) = a\ f(x_1[n]) + b\ f(x_2[n])$ ;
tempo invarianza: $f(x[n]) = y[n] \implies f(x[n - k]) = y[n - k]$ ;

Impulso di Kronecker

Per capire come definire la convoluzione nel caso discreto, dobbiamo prima dare una definizione di impulso (dato che non è possibile campionare un impulso).

\delta[n] = \begin{cases} n = 0 \implies 1 \\ n \neq 0 \implies 0 \end{cases}

Questa definizione mantiene tutte le proprietà della delta di Dirac:

il suo integrale vale 1;
è una funzione simmetrica;
un impulso $\delta[n - k]$ moltiplicato per un segnale discreto, ritorna il valore del segnale $x[n]$ in posizione $k$ : $x[k]$ .

Risposta impulsiva discreta

Dando in ingresso ad un sistema numerico LTI un impulso di Kronecker, otterremo la risposta impulsiva discreta.

In generale l’effetto è un allargamento dell’impulso su una certa sequenza di campioni. Per questo motivo questa operazione viene spesso chiamata Point Spread Function (PSF).

La convoluzione tra segnali discreti diventa:

y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[k]\ h[n - k]