Teoria degli integrali tripli e cambio variabili

Integrali tripli

Integrale triplo su un parallelepipedo

Sia $Q = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times [a_3, b_3] \subset \R^3$ un parallelepipedo.

Per ciascun lato prendiamo una suddivisione:

• $D_1 = \Set{a_1 = x_0 < \ldots < x_i < \ldots < x_{n_1} = b_1 }$
• $D_2 = \Set{a_2 = y_0 < \ldots < y_i < \ldots < y_{n_2} = b_2 }$
• $D_3 = \Set{a_3 = z_0 < \ldots < z_i < \ldots < z_{n_3} = b_3 }$

Si chiama suddivisione del parallelepipedo $Q$ una suddivisione $D = D_1 \times D_2 \times D_3$. Quindi $Q$ risulta diviso in $n_1\ n_2\ n_3$ parallelepipedi.

$|Q_{ijk}|_3$ indica il volume del sotto-parallelepipedo $Q_{ijk}$.

Definiamo:

• $S(f,D) = \sum_{i, j, k} M_{ijk}\ |Q_{ijk}|_3$ è la somma superiore di $f$ su $Q$.
• $s(f,D) = \sum_{i, j, k} m_{ijk}\ |Q_{ijk}|_3$ è la somma inferiore di $f$ su $Q$.

Si dice che $f$ è integrabile secondo Riemann su $Q$ e si scrive $f \in R(Q)$ se:

$$L = \sup_D s(f,D) = \inf_D S(f,D)$$

Il valore $L$ prende il nome di integrale triplo di $f$ su $Q$ e si denota con:

$$\iiint_Q f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz$$

Note

Valgono gli stessi teoremi degli integrali doppi su rettangoli.

Integrale triplo su insiemi generali

Si applica la stessa definizione usata per gli integrali doppi. Si consideri un parallelepipedo $Q$ che racchiude l’insieme e una funzione $\tilde{f}$ che vale come $f$ all’interno dell’insieme e $0$ fuori.

Insiemi misurabili

Come per $\R^2$, $A \subseteq \R^3$ è misurabile se:

• $\partial A$ è misurabile;
• $|\partial A|_3 = 0$

Cambio di variabile per integrali tripli

Siano $A, A' \in \R^3$ insiemi aperti, limitati e misurabili. Sia $\psi: A' \to A$ un cambiamento di variabili e sia $f \in C^0(A)$ e limitata. Allora:

$$\iiint_A f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iiint_{A'} f(\psi(u, v, w))\ |det(D_\psi(u, v, w))|\ du\ dv\ dw$$