Integrali e area di superfici regolari

Integrali di superficie

Dati:

• $S \subseteq \R^3$ una superficie regolare;
• $\sigma: \overline{D} \subseteq \R^2 \to \R^3$ una sua parametrizzazione;
• $Q = [u_0, u_0 + du] \times [v_0, v_0 + dv]$ con $(u_0, v_0) \in D$;

Essendo $\sigma \in C^1$ e differenziabile nel punto $(u_0, v_0) \in D$, possiamo approssimarla con la seguente espressione:

$$\sigma(u, v) = \sigma(u_0, v_0) + d\sigma(u_0, v_0)(u - u_0, v - v_0) + o(||(u - u_0, v - v_0)||)$$

In un piccolo intervallo si può considerare l’errore trascurabile. Pertanto, $\text{area}(\sigma(Q)) = \text{area}(\tilde{Q})$, dove:

$$\tilde{Q} = \sigma(u_0, v_0) + \lambda\ \sigma_u(u_0, v_0) + \mu\ \sigma_v(u_0, v_0)$$

con $0 \leq \lambda \leq du$ e $0 \leq \mu \leq dv$.

Questo definisce un parallelogramma con vertice $\sigma(u_0, v_0)$ e due vettori $du\ \sigma_u(u_0, v_0)$ e $dv\ \sigma_v(u_0, v_0)$.

L’elemento infinitesimo di area della superficie, $dS$, è dato dal modulo del prodotto vettoriale dei due vettori che definiscono il parallelogramma:

$$dS = area(\tilde{Q}) = ||\sigma_u(u_0, v_0) \times \sigma_v(u_0, v_0)||\ du\ dv$$

Area di $S$

Sia $D \subseteq \R^2$ un insieme misurabile, e supponiamo che $||\sigma_u \times \sigma_v||(u, v)$ sia integrabile su $D$.

L’area di $S$ è definita come il seguente integrale:

$$A(S) = \iint_D ||\sigma_u(u, v) \times \sigma_v(u, v)||\ du\ dv$$

Integrale di superficie

Sia $f: S \to \R$ continua e limitata. L’integrale di superficie di $f$ è il valore:

$$\iint_S f\ dS = \iint_D f(\sigma(u, v))\ ||(\sigma_u \times \sigma_v)||(u, v)\ du\ dv$$