Lezione (2025-11-13)

Quantizzazione

Il segnale ottenuto tramite il campionatore ha ancora valori continui in ampiezza, quindi non si può rappresentare in forma numerica. La quantizzazione è il passaggio che si occupa di discretizzare i campioni in ampiezza, associandoli ad un numero limitato di livelli.

Dato il segnale campionato $x(n T_c)$ avremo:

x(n T_c) = x_q(n T_c) + \varepsilon_q(n T_c)

Il numero di livelli viene solitamente scelto come una potenza di $2$ , in modo che $2^N$ livelli siano rappresentabili con $N$ bit. Il livello che viene assegnato è quello a distanza minore dal valore reale del segnale.

Quantizzatore uniforme

Nel quantizzatore uniforme, gli $M$ livelli sono equispaziati, quindi il massimo errore $\varepsilon_q$ che posso commettere su un campione è $|\frac{\Delta}{2}|$ (se il segnale in ingresso varia tra $\pm 1$ ( $\Delta = \frac{2}{M}$ ), allora l’errore massimo è $\frac{1}{M}$ .).

La relazione ingresso-uscita è una funzione a scalini non lineare.

Rumore di quantizzazione

Se la distribuzione dei valori assunti dal segnale è uniforme (la densità di probabilità è un rettangolo), allora anche errore di quantizzazione sarà una variabile aleatoria $f_{\varepsilon_q}(\varepsilon)$ distribuita uniformemente in $[- \frac{\Delta}{2}, \frac{\Delta}{2}]$ e di altezza $\frac{1}{\Delta}$ .

Si può stimare la potenza media del rumore che coincide con la varianza e con il valore quadratico medio:

\sigma_q^2 = \int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} \varepsilon^2\ f_{\varepsilon_q}(\varepsilon)\ d\varepsilon = \frac{1}{\Delta} \int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} \varepsilon^2\ d\varepsilon = \frac{\Delta^2}{12}

Rapporto segnale-rumore

Più che la potenza del rumore, è interessante misurare il suo rapporto con la potenza del segnale $x(t)$ .

Questo rapporto viene chiamato rapporto segnale-rumore:

SNR = 10\ \log_{10}\left(\frac{P_x}{P_{\varepsilon_q}}\right)

Più elevato è il rapporto, maggiore sarà la qualità di un segnale. Per un segnale a valor medio nullo, si può dimostrare che ogni bit aggiunto (raddoppio dei livelli) fa aumentare il valore del rapporto di 6 dB.

Quantizzatore ottimo

Quando il segnale è distribuito in maniera non uniforme, il quantizzatore dovrebbe generare più livelli nella zona dove il segnale ha maggiore probabilità di essere presente. Per realizzarlo bisogna ottimizzare congiuntamente la posizione dei punti di transizione e quella dei livelli rappresentativi in modo da minimizzare l’errore quadratico medio del quantizzatore.

L’algoritmo di Lloyd-Max è quello che ci permette di eseguire questa ottimizzazione. Per applicarlo bisogna definire a priori la distribuzione del segnale e il numero di livelli che si vuole supportare.

Si scelgono arbitrariamente i valori dei livelli $a_i,\ i = 1, \ldots, n$ .
Si impostano i punti di soglia $b_j,\ j = 1, \ldots, n - 1$ ai valori centrali tra livelli successivi: $b_j = \frac{1}{2} (a_{j + 1} + a_j)$ .
Si ricalcolano i livelli di quantizzazione $a_i, i=1,\ldots,n$ imponendoli pari alla media della differenza di potenziale in $[b_{i - 1}, b]$ , con $b_0 = -\infty$ e $b_n = +\infty$ .
Si calcola l’errore quadratico medio confrontandolo con il ciclo precedente. Se la variazione è inferiore ad una certa soglia, allora ci si può fermare. Altrimenti si ripete il ciclo dal punto 2.

Codificatore PCM

Una volta quantizzato il segnale abbiamo ottenuto campioni discreti con un numero finito di livelli di ampiezza. Quindi si può rappresentare il segnale in forma simbolica, associando ad ogni campione un codice (tipicamente binario).

Il codificatore deve quindi associare una sequenza biunivoca di $B$ bit ad ogni campione, che codificherà il suo livello tra $2^B$ possibili.

L’intero processo di campionatura, quantizzazione e codifica prende il nome di PCM.

In uscita dalla PCM, avremo una sequenza di bit, emessi con una certa frequenza. Per un segnale con $N$ campioni al secondo e $M$ livelli, il bitrate sarà:

r_b = N\ \fLogn{2}{M} = N\ B

Quindi la bitrate è legata alla massima frequenza (larghezza di banda) del segnale e alla qualità che vogliamo ottenere dopo la quantizzazione.