Integrali doppi su rettangoli e teorema di Fubini

Integrali per funzioni di più variabili

Tratteremo gli integrali di funzioni $f: A \subseteq \R^n \to \R$, per $n = 2,3$, noti anche come integrali multipli.

Integrale doppio su un rettangolo

Consideriamo un rettangolo $Q = [a, b] \times [c, d]$ e una funzione $f: Q \to \R$ limitata, ovvero tale che $\sup_Q f$ esista.

Si definisce suddivisione dell’intervallo $[a, b]$ un insieme finito di punti della retta reale $\Set{x_0, \ldots, x_m}$ tale che $a = x_0 < \dots < x_m = b$.

Analogamente, si definisce suddivisione dell’intervallo $[c, d]$ un insieme finito di punti $\Set{y_0, \ldots, y_n}$ tale che $c = y_0 < \dots < y_n = d$.

Una suddivisione di $Q$ in $\R^2$ è definita dalla coppia $(D_1, D_2)$, dove $D_1$ e $D_2$ sono le suddivisioni di $[a, b]$ e $[c, d]$ rispettivamente.

Somma superiore e inferiore

La somma superiore (o inferiore) di $f$ rispetto alla suddivisione $D$ di $Q$ è definita come il numero reale:

$$S(f,D) = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n M_{ij}\ \text{area}(Q_{ij})$$

o rispettivamente:

$$s(f, D) = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n m_{ij}\ \text{area}(Q_{ij})$$

Poiché $f$ è limitata, $M_{ij}$ e $m_{ij}$ sono numeri reali (non infiniti) che corrispondono, rispettivamente, all’estremo superiore e inferiore di $f$ nell’intervallo definito dalla suddivisione.

Proprietà

• Se $f \geq 0$, le somme superiore e inferiore rappresentano il volume di un parallelepipedo di base $Q_{ij}$ e altezza $M_{ij}$ o $m_{ij}$.

• Per ogni suddivisione $D$ di $Q$:

  $$\text{area}(Q)\ \inf_Q f \leq s(f,D) \leq S(f,D) \leq \text{area}(Q)\ \sup_Q f$$

Funzione integrabile

Una funzione $f$ si dice integrabile secondo Riemann in $Q$ ($f \in R(Q)$) se:

$$L = \sup \Set{s(f,D)} = \inf \Set{S(f,D)}$$

ovvero se le somme superiore e inferiore coincidono.

Il numero reale $L$ è chiamato integrale doppio di $f$ e si denota:

$$L = \iint_Q f(x,y)\ dx dy = \iint_Q f = \int_Q f$$

Condizioni che assicurano $f \in R(Q)$

• Se $f \in C^0(Q)$, allora $f \in R(Q)$.
• Se $f$ è limitata su $Q$ e continua quasi ovunque (l’insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla), allora $f \in R(Q)$ (criterio di Lebesgue).

Note

Un esempio di funzione per cui l’integrale non esiste è la funzione di Dirichlet (che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali), la quale ha infiniti punti di discontinuità e il cui insieme di discontinuità ha misura non nulla.

Proprietà dell’integrale

• Linearità: $\iint (\alpha f + \beta g) = \alpha \iint f + \beta \iint g$.
• Monotonia: Se $g \leq f$ su $Q$, allora $\iint_Q g \leq \iint_Q f$.
• Se $|f| \in R(Q)$, allora $|\iint_Q f| \leq \iint_Q |f|$.
• Teorema del valor medio: $\inf_Q f \leq \frac{1}{\text{area}(Q)} \iint_Q f \leq \sup_Q f$. Se $f \in C^0(Q)$, esiste $\mathbf{p}_0 \in Q$ tale che $f(\mathbf{p}_0) = \frac{1}{\text{area}(Q)} \iint_Q f$.

Formula di riduzione sui rettangoli (Teorema di Fubini)

Siano $Q$ il rettangolo $[a, b] \times [c, d]$ e $f$ una funzione integrabile su $Q$. Inoltre assumiamo che per ogni $x \in [a, b]$, la funzione $f$ sia integrabile come $\int_c^d f(x,y)\ dy$. Allora:

$$\iint_Q f = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)\ dy \right) dx$$

In particolare, per funzioni $f \in C^0(Q)$, vale:

$$\iint_Q f = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)\ dy \right) dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)\ dx \right) dy$$