Trasformatore elettrico e impedenza in ingresso

Trasformatore

Il trasformatore è un apparecchio che si usa per cambiare la tensione della corrente in ingresso in un’altra tensione desiderata.

Con ciò che abbiamo visto finora nel corso, verrebbe naturale pensare di usare un partitore di tensione. Il rapporto tra le tensioni ai capi è dato dal rapporto tra le resistenze.

Ci sono però dei problemi nel trasferimento di potenza. Il trasformatore ideale dovrebbe trasferire tutta la potenza in ingresso all’uscita.

Trasferimento di potenza senza il partitore

Il trasformatore è composto da un circuito:

┌─────┐
│     │
V_1   L_1
│     │
└─────┘

La corrente fluisce all’interno dell’induttore $L_1$ e genera un campo magnetico $B(t)$. Dato che le spire sono concatenate, al loro interno si genera un flusso di campo magnetico $\Phi_B(t)$.

Si ottiene una forza elettromotrice indotta $V(t) = \dv{\Phi_B}{t}(t)$

  I_1        I_2
  ──>        <──
┌─────┐    ┌─────┐
│    .│    │.    │
V_1   L_1  L_2   V_2
│     │    │     │
└─────┘    └─────┘

Ponendo un altro induttore vicino al circuito iniziale, si genera una nuova differenza di potenziale $V_2$.

Mutua induttanza

Il flusso di campo magnetico generato dal primario è $\Phi_1(t) = L_1 I_1(t) + M I_2(t)$. Quello del secondario è $\Phi_2(t) = L_2 I_2(t) + M I_1(t)$.

In queste espressioni, $L_1$ e $L_2$ sono le autoinduttanze e $M$ è la mutua induttanza. Per il teorema di reciprocità, $M_{12} = M_{21}$.

Note

I due punti nel circuito indicano convenzionalmente che $M > 0$ se le correnti seguono il verso specificato sopra.

Nel caso iniziale, $I_2(t) = 0$, quindi $V_2(t) = \dv{\Phi_2}{t} = M \dv{I_1}{t}$. Quindi $V_2(t) > 0 \iff \dv{I_1}{t} > 0$.

Definiamo il grado di accoppiamento:

$$k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$$

Il trasformatore ideale ha $k = 1$.

Nel circuito sopra, assumendo che il primario e secondario siano separati dall’aria, si perde molta potenza perché la maggior parte delle linee di campo uscenti da $L_1$ non si collegano a $L_2$.

Avvolgendo $L_1$ e $L_2$ attorno a un materiale ad alta permeabilità magnetica, si possono indirizzare tutte le linee di campo uscenti nell’induttore secondario.

Tensione ai capi

Si possono derivare $V_1$ e $V_2$ a partire dal flusso generato e dal numero di spire $n$ degli induttori.

$$\begin{array}{l} V_1(t) = \dv{\Phi_B}{t}\ n_1 \\[7pt] V_2(t) = \dv{\Phi_B}{t}\ n_2 \\ \end{array}$$

Quindi $\frac{V_1(t)}{V_2(t)} = \frac{n_1}{n_2}$. Abbiamo di nuovo ottenuto il rapporto tra le tensioni ai capi, senza però perdere la potenza iniziale.

Impedenza in ingresso

$$Z_\text{in} = \frac{V_1(t)}{I_1(t)} = \frac{\frac{n_1}{n_2} V_2(t)}{\frac{n_2}{n_1} I_2(t)} = \frac{n_1^2}{n_2^2} \frac{V_2(t)}{I_2(t)} = \frac{n_1^2}{n_2^2} R_2$$