Integrali doppi su insiemi misurabili e riduzione

Integrale doppio su insiemi generali

Sia $A \subseteq \R^2$ un insieme limitato e sia $f: A \to \R$ una funzione limitata. Sia $Q = [a,b] \times [c,d]$ un rettangolo contenente $A$ ($Q \supset A$). Definiamo la funzione $\tilde{f}$ come segue:

$$\tilde{f}(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & \text{se } (x,y) \in A \\ 0 & \text{se } (x,y) \in Q \setminus A \end{cases}$$

Si dice che $f$ è integrabile su $A$ se $\tilde{f}$ è integrabile su $Q$. In questo caso, si ha $\iint_A f = \iint_Q \tilde{f}$.

Se per l’insieme $A$ non fosse definita una nozione di area, non potremmo calcolare $\iint_A f$.

Insiemi misurabili e la loro misura

Un insieme $A \subseteq \R^2$ è definito misurabile se la funzione $f(\mathbf{p}) = \begin{cases} 1 \text{ se } \mathbf{p} \in A \\ 0 \text{ se } \mathbf{p} \notin A \end{cases}$ è integrabile su $A$. In questo caso, il valore dell’integrale è chiamato misura di $A$, denotata con:

$$|A|_2 = \iint_A 1\ dx dy$$

Teoremi

• Sia $A$ un insieme limitato. Allora $A$ è misurabile se e solo se $|\partial A|_2 = 0$.
• Sia $g: [a, b] \to \R$ una funzione integrabile in senso di Riemann. Allora il suo grafico $G_g = \Set{(x, g(x)) \mid x \in [a, b]}$ è misurabile e $|G_g|_2 = 0$.

Corollario: Se la frontiera di $A$ è data dall’unione finita di grafici di funzioni continue, allora $A$ è misurabile.

Misurabilità degli insiemi semplici nel piano

Siano $g_1, g_2: [a, b] \to \R$ funzioni continue e supponiamo che $\forall\ x \in [a, b],\ g_1(x) \leq g_2(x)$. L’insieme $A = \Set{(x, y) \in \R^2 \mid a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)}$ è chiamato insieme semplice rispetto all’asse $y$.

Per il corollario citato, $A$ è misurabile.

Esistenza dell’integrale doppio su insiemi misurabili

Sia $f: A \to \R$. Supponiamo che $A$ sia limitato e misurabile, e che $f$ sia limitata e continua su $A$. Allora $f$ è integrabile su $A$.

Integrale doppio su insiemi di misura nulla

Sia $A \subseteq \R^2$ un insieme limitato e misurabile, e sia $f \in R(A)$. Supponiamo inoltre che $A$ sia divisibile in $B \cup C$, dove $B$ e $C$ sono misurabili e $|C|_2 = 0$. Allora $\iint_A f = \iint_B f$.

Da questo teorema deriva che:

$$\iint_A f = \iint_{\dot{A}} f$$

Integrali doppi su domini semplici e formule di riduzione

• Un insieme $A \subseteq \R^2$ è detto dominio semplice (o dominio normale) rispetto all’asse $y$ se esistono $g_1, g_2 \in C^0([a, b])$ tali che $\forall\ x \in [a, b],\ g_1(x) \leq g_2(x)$ e $A = \Set{(x, y) \in \R^2 \mid x \in [a, b],\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)}$.

• Un insieme $A \subseteq \R^2$ è detto dominio semplice (o dominio normale) rispetto all’asse $x$ se esistono $h_1, h_2 \in C^0([c, d])$ tali che $\forall\ y \in [c, d],\ h_1(y) \leq h_2(y)$ e $A = \Set{(x, y) \in \R^2 \mid y \in [c, d],\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)}$.

Se un insieme è semplice, allora è limitato e misurabile. Quindi, se $A$ è semplice e $f \in C^0(A)$, allora $f \in R(A)$.

Formula di riduzione su domini semplici

• Se $A$ è un dominio semplice rispetto ad $y$, allora:

  $$\iint_A f = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\ dy \right) dx$$

  Inoltre, $A$ è misurabile e $|A|_2 = \iint_A 1 = \int_a^b \left( g_2(x) - g_1(x) \right) dx$.

• Se $A$ è un dominio semplice rispetto ad $x$, allora:

  $$\iint_A f = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\ dx \right) dy$$

  Inoltre, $A$ è misurabile e $|A|_2 = \iint_A 1 = \int_c^d \left( h_2(y) - h_1(y) \right) dy$.