Curve parametriche definizione vettore e tangente

Curve in $\R^n$

Tip

• integrale doppio: formalizza il concetto di area;
• integrale triplo: formalizza il concetto di volume;
• integrale curvilineo: formalizza il concetto di lunghezza di una curva;

Una curva (o traiettoria) è una mappa $\gamma: I \subseteq \R \to \R^n$, continua su $I$, $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \ldots, \gamma_n(t))$, con $\gamma_i: I \to \R$.

• Se $I = [a, b]$, allora i punti $\gamma(a)$ e $\gamma(b)$ si chiamano estremi della curva.
• L’insieme $\gamma(I) \subseteq \R^n$ si chiama sostegno della curva.
• L’equazione $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n) = \gamma(t)$ è detta equazione parametrica di $\gamma$.
• La curva si dice chiusa se $I = [a, b]$ e $\gamma(a) = \gamma(b)$.
• Una curva si dice semplice se $\gamma$ è iniettiva, oppure se $\gamma$ è chiusa e $\gamma: [a,b) \to \R^n$ è iniettiva.

Note

Due curve possono avere lo stesso sostegno ma essere differenti.

Esempio: Due curve che hanno come sostegno una circonferenza, ma i cui domini sono $[0, 2 \pi]$ e $[0, 4 \pi]$. In questo caso una curva è semplice e l’altra no.

Orientazione (o verso) di una curva semplice

Data $\gamma: I \to \R^n$ curva semplice, si dice che il punto $\mathbf{x}_1 = \gamma(t_1)$ precede il punto $\mathbf{x}_2 = \gamma(t_2)$ se $t_1 < t_2$.

Vettore velocità di una curva

Sia $\gamma: I \to \R^n$ una curva, $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \ldots, \gamma_n(t))$. Se le componenti $\gamma_i$ sono derivabili in un punto $t_0 \in I$, il vettore velocità di $\gamma$ in $t_0$ è definito:

$$\gamma'(t_0) = (\gamma'_1(t_0), \ldots, \gamma'_n(t_0))$$

Possiamo scrivere:

$$\gamma(t) = \gamma(t_0) + \gamma'(t_0)(t - t_0) + o(t - t_0) \text{ per } t \to t_0$$

Se $\gamma'(t_0) \neq \mathbf{0}$, allora si chiama retta tangente alla curva $\gamma$ nel punto $x_0 = \gamma(t_0)$ l’equazione parametrica:

$$\mathbf{x} = \gamma(t_0) + \gamma'(t_0)(t - t_0)$$

Se $\gamma'(t_0) = \mathbf{0}$, la retta tangente può non esistere.

Curva regolare

Una curva si dice di classe $C^m$ se tutte le $\gamma_i$ sono di classe $C^m$.

$\gamma: I \to \R^n$ si dice regolare se è di classe $C^1$ e $\forall\ t \in I,\ \gamma'(t) \neq \mathbf{0}$.

Data $\gamma$ curva regolare, si chiama versore tangente a $\gamma$ il campo vettoriale:

$$T_\gamma(t) = \frac{\gamma'(t)}{||\gamma'(t)||},\ t \in I$$

Curva regolare a tratti

Una curva $\gamma$ si dice $C^1$ a tratti (o regolare a tratti) se esiste una suddivisione tale che in ogni suo intervallo $\gamma$ sia di classe $C^1$.

In tal caso $\gamma$ è considerata unione delle $N$ curve regolari $\gamma_i$ e si scrive:

$$\gamma = \cup_{i = 1}^N \gamma_i$$

Cambiamento di parametro di una curva

Due curve di classe $C^1$, $\gamma: I \to \R^n$ e $\tilde{\gamma}: \tilde{I} \to \R^n$, sono dette equivalenti se esiste una funzione biettiva $\phi: \tilde{I} \to I$ tale che:

• $\phi \in C^1(\tilde{I})$
• $\forall\ \tau \in \tilde{I},\ \phi'(\tau) \neq 0$
• $\forall\ \tau \in \tilde{I},\ \tilde{\gamma}(\tau) = \gamma(\phi(\tau))$.

In tal caso, la funzione $\phi$ è chiamata cambiamento di parametrizzazione.

Se $\forall\ \tau \in \tilde{I},\ \phi'(\tau) > 0$, $\gamma$ e $\tilde{\gamma}$ hanno lo stesso verso. Invece se $\forall\ \tau \in \tilde{I},\ \phi'(\tau) < 0$, $\gamma$ e $\tilde{\gamma}$ hanno verso opposto.

Due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno; se una delle due è semplice, anche l’altra lo è.