Forme differenziali chiuse e superfici

Costruzione di un potenziale per una forma differenziale chiusa su un aperto convesso

Sia $E \subseteq \R^n$ un insieme aperto convesso, e sia $\omega = F \cdot dx$ una forma differenziale chiusa su $E$.

In base al teorema della lezione precedente, sappiamo che esiste un potenziale $U: E \to \R$ di $\omega$, ovvero una funzione $U \in C^2(E)$ tale che $\nabla U(\mathbf{x}) = F(\mathbf{x})$.

Procedura per la costruzione della funzione $U$:

1. Consideriamo il caso $i = 1$, cioè imponiamo:

   $$\frac{\partial U}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) = F_1(x_1, \ldots, x_n)$$

2. Fissiamo $x_2, \ldots, x_n$ ed integriamo rispetto ad $x_1$:

   $$U(x_1, \ldots, x_n) = \int F_1(x_1, \ldots, x_n)\ dx_1 = U_1(x_1, \ldots, x_n) + c_1(x_2, \ldots, x_n)$$

   dove $c_1$ rappresenta la costante di integrazione rispetto a $x_1$.

3. Ora passiamo ad $i = 2$:

   $$\frac{\partial U}{\partial x_2} = \frac{\partial U_1}{\partial x_2}(x_1, \ldots, x_n) + \frac{\partial c_1}{\partial x_2}(x_2, \ldots, x_n) = F_2(x_1, \ldots, x_n)$$

   Quindi:

   $$\frac{\partial c_1}{\partial x_2}(x_2, \ldots, x_n) = F_2(x_1, \ldots, x_n) - \frac{\partial U_1}{\partial x_2}(x_1, \ldots, x_n)$$

4. Si osserva che questa uguaglianza è indipendente da $x_1$. Questa proprietà può essere verificata applicando la regola delle derivate parziali incrociate, che sono uguali dato che $\omega$ è chiusa.

   $$\frac{\partial c_1}{\partial x_1}(x_2, \ldots, x_n) = \frac{\partial F_2}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) - \frac{\partial^2 U_1}{\partial x_1\ \partial x_2}(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\partial F_2}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}(x_1, \ldots, x_n) = 0$$

   Per trovare $c_1$ integriamo rispetto a $x_2$:

   $$\int \frac{\partial c_1}{\partial x_2}(x_2, \ldots, x_n)\ dx_2 = U_2(x_2, \ldots, x_n) + c_2(x_3, \ldots, x_n)$$

   sostituendo, si ottiene:

   $$U(x_1, \ldots, x_n) = U_1(x_1, \ldots, x_n) + U_2(x_2, \ldots, x_n) + c_2(x_3, \ldots, x_n)$$

5. Dopo aver svolto questa procedura per tutte le variabili, otteniamo che la funzione $U$ sarà della forma:

   $$U(x_1, \ldots, x_n) = U_1(x_1, \ldots, x_n) + U_2(x_2, \ldots, x_n) + \ldots + U_{n - 1}(x_{n - 1}, \ldots, x_n) + U_n(x_n) + c_n$$

   dove $c_n \in \R$. Questa funzione $U$ è dunque la funzione potenziale richiesta.

Superfici ed integrali di superficie

In senso intuitivo, una superficie è un oggetto bidimensionale, privo di spessore.

Curva di Jordan nel piano

Una curva di Jordan è una curva piana $\gamma: [a, b] \to \R^2$ semplice e chiusa.

Proprietà:

• Il sostegno $\Gamma = \gamma([a, b])$ divide il piano in due insiemi aperti: uno limitato, che designiamo come interno della curva ($D_{int}$), e l’altro illimitato, che chiamiamo esterno della curva ($D_{est}$).
• $D_{int}$ e $D_{est}$ hanno la stessa frontiera che coincide con $\Gamma$.

Superficie

Un sottoinsieme $S \subset \R^3$ è definito superficie (elementare) se esiste una mappa $\sigma: \overline{D} \subseteq \R^2 \to \R^3$, $\sigma(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$, che soddisfa le seguenti condizioni:

• $D$ è un aperto di $\R^2$, interno di una curva di Jordan.
• $\sigma$ è continua e $\sigma: D \to \R^3$ è iniettiva.
• $\sigma(D) = S$

Note

$\overline{D}$ indica l’unione tra l’insieme $D$ e la sua frontiera.

Una funzione verificante le precedenti condizioni è detta una parametrizzazione di $S$.

$S$ si dice una superficie cartesiana se esiste una parametrizzazione $\sigma: \overline{D} \subseteq \R^2 \to \R^3$ del tipo:

$$\sigma(u, v) = \begin{cases} (f(u, v), u, v) \\ (u, f(u, v), v) \\ (u, v, f(u, v)) \end{cases}$$

dove $f: \overline{D} \to \R$ continua.

Osservazioni:

• A differenza delle curve, il nome superficie è dato all’immagine della parametrizzazione e non alla parametrizzazione stessa.
• La definizione attuale si riferisce esclusivamente a superfici limitate.
• Data una superficie $S \subset \R^3$, la sua parametrizzazione non è unica.

Punti interni e bordo di una superficie

La definizione di punto interno e di bordo da un punto di vista intrinseco differisce da quelle frontiera e parte interna di $S$ vista come sottoinsieme di $\R^3$ (in quanto $\partial S = S$ e $\dot{S} = \emptyset$).

• Un punto $\mathbf{x} \in S$ si dice interno ad $S$ se esiste un intorno $B(\mathbf{x}, r)$ ed una parametrizzazione $\sigma_p: \overline{D_p} \subseteq \R^2 \to \R^3$ di $\overline{B(\mathbf{x}, r) \cap S}$ tale che $\mathbf{x} \in \sigma_p(D_p)$.

  L’insieme di punti interni di $S$ si denota con $S'$.

• Si chiama bordo di $S$ ($bor(S)$) l’insieme dei punti che non sono interni ad $S$, ovvero $bor(S) = S \setminus S'$.

Regolarità di una superficie e piano tangente

La regolarità ($C^1$) della parametrizzazione di una superficie non basta per garantire l’esistenza del piano tangente ad essa.

Siano:

• $\sigma: \overline{D} \to S$ di classe $C^1$
• $\sigma(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$
• $\gamma: [a,b] \to D$ di classe $C^1$
• $\gamma(t) = (u(t), v(t))$
• $\gamma(t_0) = (u_0, v_0)$
• $\gamma'(t_0) \neq \mathbf{0}$
• $\tilde{\gamma}: [a, b] \to S$
• $\tilde{\gamma}(t) = \sigma(\gamma(t)) = (x(\gamma(t)), y(\gamma(t)), z(\gamma(t)))$

L’esistenza del piano $\pi$ tangente a $S$ in un punto interno $\sigma(u_0, v_0)$ dovrebbe implicare che, per qualsiasi curva $\gamma$ che rispetti le condizioni stabilite:

• anche $\tilde{\gamma}$ è una curva di classe $C^1$ con $\tilde{\gamma}'(t_0) \neq \mathbf{0}$;
• la retta tangente a $\tilde{\gamma}$, passante per $\tilde{\gamma}(t_0)$ deve appartenere a $\pi$;

Per la RDC:

$$\tilde{\gamma}'(t_0) = u'(t_0)\ \sigma_u(u_0, v_0) + v'(t_0)\ \sigma_v(u_0, v_0)$$

dove:

$$\begin{array}{l} \sigma_u(u, v) = \frac{\partial \sigma}{\partial u}(u, v) = \left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right) \\[10pt] \sigma_v(u, v) = \frac{\partial \sigma}{\partial v}(u, v) = \left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right) \\[10pt] \gamma'(t_0) = (u'(t_0), v'(t_0)) \end{array}$$

Vogliamo imporre che $\tilde{\gamma}'(t_0) \neq \mathbf{0}$ al fine di verificare la regolarità della superficie nel punto $\sigma(\gamma(t_0))$.

Affinché $\tilde{\gamma}'(t_0) \neq \mathbf{0}$ per ogni curva ammissibile (con $\gamma'(t_0) \neq \mathbf{0}$), è necessario che $\sigma_u(u_0, v_0)$ e $\sigma_v(u_0, v_0)$ siano linearmente indipendenti. Di conseguenza, il loro prodotto vettoriale sarà diverso da $\mathbf{0}$.

Consideriamo il piano $\pi$ definito dall’equazione parametrica:

$$\pi = \sigma(u_0, v_0) + \lambda\ \sigma_u(u_0, v_0) + \mu\ \sigma_v(u_0, v_0)$$

e osserviamo che la sua equazione cartesiana corrisponde a:

$$a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0$$

dove:

• $(a, b, c) = \sigma_u(u_0, v_0) \times \sigma_v(u_0, v_0) \neq \mathbf{0}$;
• $(x_0, y_0, z_0) = \sigma(u_0, v_0)$;

Pertanto, se $(x, y, z) \in \pi$, esistono $\lambda$ e $\mu$ tali che

$$(x, y, z) = \sigma(u_0, v_0) + \lambda\ \sigma_u(u_0, v_0) + \mu\ \sigma_v(u_0, v_0)$$

Si osserva anche che la retta tangente a $\tilde{\gamma}(t_0)$, di equazione parametrica:

$$\begin{array}{ll} (x, y, z) &= \sigma(u_0, v_0) + \tilde{\gamma}'(t_0)\ (t - t_0) \\ &= \sigma(u_0, v_0) + (u'(t_0)\ \sigma_u(u_0, v_0) + v'(t_0)\ \sigma_v(u_0, v_0))\ (t - t_0) \\ &= \sigma(u_0, v_0) + u'(t_0)\ (t - t_0)\ \sigma_u(u_0, v_0) + v'(t_0)\ (t - t_0)\ \sigma_v(u_0, v_0) \end{array}$$

appartiene a $\pi$.

Punto regolare di una superficie

Sia $S \subseteq \R^3$ una superficie e sia $\mathbf{x}_0 \in S$.

$\mathbf{x}_0$ si dice regolare se esistono $B(\mathbf{x}_0, r)$ e una parametrizzazione $\sigma: \overline{D} \to \R^3$ di $\overline{B(\mathbf{x}_0, r) \cap S}$ tali che:

• $\sigma$ sia di classe $C^1$;
• $\sigma_u(u_0, v_0) \times \sigma_v(u_0, v_0) \neq \mathbf{0}$, dove $\sigma(u_0, v_0) = \mathbf{x}_0$;

In questo caso, $\pi$ è il piano tangente ad $S$ nel punto $\mathbf{x}_0$.

Note

• I due versori $\pm \frac{\sigma_u(u_0, v_0) \times \sigma_v(u_0, v_0)}{||\sigma_u(u_0, v_0) \times \sigma_v(u_0, v_0)||}$ sono chiamati direzioni normali a $S$ in $\mathbf{x}_0$.

• $S$ si dice regolare se tutti i punti interni ad essa sono regolari.