Analisi circuitale e trasformata di Laplace

Relazione tensione-corrente dei dipoli nel dominio di $s$

$t$	$s$
$V_R(t) = R\ I_R(t)$	$\tilde{V}_R(s) = R\ \tilde{I}_R(s)$
$I_R(t) = \frac{V_R(t)}{R}$	$\tilde{I}_R(s) = \frac{\tilde{V}_R(s)}{R}$
$V_C(t) = \frac{1}{C} \int_0^t I_C(t)\ dt + V_C(0)$	$\tilde{V}_C(s) = \frac{1}{C} \frac{\tilde{I}_C(s)}{s} + \frac{V_C(0)}{s}$
$I_C(t) = C \dv{V_C}{t}(t)$	$\tilde{I}_C(s) = C\ s\ \tilde{V}_C(s) - C\ V_C(0)$
$V_L(t) = L \dv{I_L}{t}(t)$	$\tilde{V}_L(s) = L\ s\ \tilde{I}_L(s) - L\ I_L(0)$
$I_L(t) = \frac{1}{L} \int_0^t V_L(t)\ dt + I_L(0)$	$\tilde{I}_L(s) = \frac{1}{L} \frac{\tilde{V}_L(s)}{s} + \frac{I_L(0)}{s}$

Impedenza nel dominio $s$

L’impedenza è molto simile a quella nel dominio delle frequenze quando le condizioni iniziali sono nulle:

$$Z = \frac{\tilde{V}(s)}{\tilde{I}(s)}$$

Quindi:

• $Z_R = R$
• $Z_C = \frac{1}{s\ C}$
• $Z_L = s\ L$

Equazioni differenziali nel dominio $s$

La risposta di un qualsiasi sistema LTI è data da un’espressione del tipo:

$$\sum_{n = 0}^N a_n \dvn{n}{y}{t}(t) = \sum_{m = 0}^M b_m \dvn{m}{x}{t}(t)$$

con i coefficienti $a_n$ e $b_m$ reali e con condizioni iniziali a $t = 0$.

Nel dominio di $s$, essa diventa:

$$\begin{darray}{llc} &\sum_{n = 0}^N a_n s^n \tilde{Y}(s) - \sum_{n = 0}^N \left(\sum_{i = 1}^N s^{n - i} \dvn{i - 1}{y}{t}(0)\right) a_n = &\tilde{A}(s) \tilde{Y}(s) + \tilde{E}(s) \\ & &\shortparallel \\ = &\sum_{m = 0}^M b_m s^m \tilde{X}(s) - \sum_{m = 0}^M \left(\sum_{i = 1}^M s^{m - i} \dvn{i - 1}{y}{t}(0)\right) b_m = &\tilde{B}(s) \tilde{X}(s) + \tilde{D}(s) \end{darray}$$

In pratica otteniamo una divisione tra polinomi:

$$\tilde{Y}(s) = \frac{\tilde{B}(s) \tilde{X}(s) + \tilde{D}(s) - \tilde{E}(s)}{\tilde{A}(s)}$$

Anti-trasformazione del risultato

Per anti-trasformare bisogna ricondursi a qualcosa di più semplice, ad esempio $\frac{1}{s - d}$.

Ricombiniamo l’espressione di polinomi trovata sopra:

$$\tilde{Y}(s) = \frac{\tilde{C}(s)}{\tilde{A}(s)} = \tilde{Q}(s) + \frac{\tilde{R}(s)}{\tilde{J}(s)} = \tilde{Q}(s) + \sum_{k = 1}^K \frac{O_k}{s - s_k^\text{zero}}$$

• richiediamo che il grado di $\tilde{R}$ sia minore di quello di $\tilde{J}$
• $s_k^\text{zero}$ è il $k$-esimo valore di $s$ che annulla il polinomio $\tilde{J}(s)$.
• $O_k = \lim_{s \to s_k^\text{zero}} (s - s_k^\text{zero}) \frac{\tilde{R}(s)}{\tilde{J}(s)}$

Quindi i passaggi diventano:

1. Troviamo gli zeri $s_k^\text{zero}$ di $\tilde{J}(s)$.
2. Troviamo $O_k$.
3. Anti-trasformiamo.

Una volta che abbiamo trovato l’espressione semplificata di $\frac{\tilde{R}(s)}{\tilde{J}(s)}$, possiamo anti-trasformare e otteniamo:

$$\sum_{k = 1}^K O_k\ e^{s_k^{\text{zero}} t}$$