Impulso, gradino e circuiti rlc di secondo ordine

Risposta all’impulso e al gradino

Chiamiamo:

• $g(t)$ la risposta a stato $0$ ad un gradino unitario: $Z_0[\theta(t)]$;
• $h(t)$ la risposta a stato $0$ ad una delta di Dirac: $Z_0[\delta(t)]$;

Delta di Dirac in termini di gradini

Possiamo scrivere un impulso come una combinazione di due gradini:

• $\frac{\theta(t)}{d}$: gradino a $0$ alto $\frac{1}{d}$;
• $\frac{\theta(t - d)}{d}$: gradino a $d$ alto $\frac{1}{d}$;

L’impulso si ottiene così:

$$P_d(t) = \frac{\theta(t)}{d} - \frac{\theta(t - d)}{d}$$

Quindi la risposta a questo impulso sarà:

$$\begin{array}{ll} Z_0[P_d(t)] &= \frac{1}{d} (Z_0[\theta(t)] - Z_0[\theta(t - d)]) \\[10pt] &= \frac{1}{d} (g(t) - Z_0\ \Tau_d[\theta(t)]) \\[10pt] &= \frac{1}{d} (g(t) - \Tau_d[g(t)]) \end{array}$$

Per $d$ che tende a $0$ (e quindi per la delta di Dirac), si nota che l’equazione sopra corrisponde a quella della definizione di derivata di $g$: $Z_0[\delta(t)] = h(t) = \frac{dg}{dt}(t)$.

Circuiti RLC di secondo ordine a ingresso nullo

Prendiamo un circuito dove a $t_0$ la tensione ai capi dei componenti in parallelo è $V_{C_1}(t_0) = V_0$ e la corrente passante per l’induttore è $I_{L_1}(t_0) = I_0$.

┌────┬────┐
C_1  L_1  R_1
└────┴────┘

Costruiamo il solito sistema:

$$\begin{cases} V_{C_1}(t) = V_{R_1}(t) = V_{L_1}(t) = V(t) \\ I_{C_1}(t) + I_{L_1}(t) + I_{R_1}(t) = 0 \\ V_{R_1}(t) = R_1 I_{R_1}(t) \\ I_{C_1}(t) = C_1 \dv{V_{C_1}}{t}(t) \\ V_{L_1}(t) = L_1 \dv{I_{L_1}}{t}(t) \\ V_{C_1}(t_0) = V_0 \\ I_{L_1}(t_0) = I_0 \end{cases}$$

Semplificando otteniamo il seguente problema di Cauchy, che contiene un’equazione differenziale di secondo grado:

$$\begin{cases} \begin{array}{ll} &C_1 \dv{V}{t}(t) + I_{L_1}(t) + \frac{V(t)}{R_1} = 0 \\ \iff &L_1\ C_1\ \dvn{2}{I_{L_1}}{t}(t) + \frac{L_1}{R_1} \dv{I_{L_1}}{t}(t) + I_{L_1}(t) = 0 \\ \iff &\dvn{2}{I_{L_1}}{t}(t) + \frac{1}{R_1\ C_1} \dv{I_{L_1}}{t}(t) + \frac{I_{L_1}(t)}{L_1\ C_1} = 0 \end{array} \\ V_{C_1}(t_0) = V_0 \\ I_{L_1}(t_0) = I_0 \end{cases}$$

Definiamo due parametri reali e sempre positivi:

• $\alpha = \frac{1}{2\ R_1\ C_1}$ costante di smorzamento: indica quanto velocemente la corrente viene smorzata;
• $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_1\ C_1}}$ frequenza di risonanza: frequenza con la quale C e L si scambiano energia;

Il sistema diventa:

$$\begin{cases} \dvn{2}{I_{L_1}}{t}(t) + 2 \alpha \dv{I_{L_1}}{t}(t) + \omega_0^2\ I_{L_1}(t) = 0 \\ V_{C_1}(t_0) = V_0 \\ I_{L_1}(t_0) = I_0 \end{cases}$$

Si può notare che l’equazione assomiglia ad un polinomio di secondo grado: $x^2 + 2 \alpha x + \omega_0^2 = 0$, con soluzioni:

$$x_1, x_2 = \frac{-2 \alpha \pm \sqrt{4 \alpha^2 - 4 \omega_0^2}}{2} = - \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$$

Le soluzioni possono essere:

• reali e distinte se $\Delta > 0$: nel caso sopra saranno $x_1 < x_2 < 0$.

  La soluzione dell’equazione differenziale è:

  $$I_{L_1}(t) = k_1\ e^{x_1\ t} + k_2\ e^{x_2\ t}$$

  Questo caso è detto sovrasmorzato poiché abbiamo la somma di due esponenziali decrescenti.

  

• complesse se $\Delta < 0$:

  Quindi avremo $x_1, x_2 = - \alpha \pm j \omega_d$, dove $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$ è la pulsazione smorzata del circuito.

  Note

  In fisica l’unità dei numeri complessi si denota con $j$ e non $i$ per evitare confusione con la corrente.

  A differenza del caso reale, $x_1$ e $x_2$ sono numeri complessi. La soluzione dell’equazione differenziale è:

  $$\begin{array}{ll} I_{L_1}(t) &= k_1\ e^{x_1\ t} + k_2\ e^{x_2\ t} \\ &= k_1\ e^{(- \alpha + j\ \omega_d)\ t} + k_2\ e^{(- \alpha - j\ \omega_d)\ t} \\ &= e^{- \alpha\ t} (k_1\ e^{j\ \omega_d\ t} + k_2\ e^{- j\ \omega_d\ t}) \\ &= e^{- \alpha\ t} (k_1\ (\cos(\omega_d\ t) + j\ \sin(\omega_d\ t)) + k_2\ (\cos(\omega_d\ t) - j\ \sin(\omega_d\ t))) \\ &= e^{- \alpha\ t} (\cos(\omega_d\ t)\ (k_1 + k_2) + j\ \sin(\omega_d\ t)\ (k_1 - k_2)) \\ &= e^{- \alpha\ t} (\cos(\omega_d\ t)\ A + \sin(\omega_d\ t)\ B) \\ &= e^{- \alpha\ t} \sqrt{A^2 + B^2} \left(\frac{A \cos(\omega_d\ t)}{\sqrt{A^2 + B^2}} + \frac{B \sin(\omega_d\ t)}{\sqrt{A^2 + B^2}}\right) \\ &= e^{- \alpha\ t} \sqrt{A^2 + B^2} (\cos(\phi) \cos(\omega_d\ t) + \sin(\phi) \sin(\omega_d\ t)) \\ &= e^{- \alpha\ t} K (\cos(\phi) \cos(\omega_d\ t) + \sin(\phi) \sin(\omega_d\ t)) \\ &= e^{- \alpha\ t} K (\cos(\phi) \cos(\omega_d\ t) + \sin(\phi) \sin(\omega_d\ t)) \\ &= e^{- \alpha\ t} K \cos(\omega_d\ t - \phi) \end{array}$$

  Le variabili che appaiono sono:

  • $A = k_1 + k_2$
  • $B = j\ (k_1 - k_2)$
  • $K = \sqrt{A^2 + B^2} = 2 \sqrt{k_1\ k_2}$: è un numero reale per le condizioni iniziali che abbiamo dato;
  • $\phi$: angolo del triangolo rettangolo con cateti $A$ e $B$. Indica la fase del circuito;

  Il grafico è quello di una sinusoidale che viene smorzata progressivamente. Questo caso è detto sottosmorzato.

  

  Note

  Lo stesso procedimento si usa molto comunemente anche in altri fenomeni fisici, ad esempio un oggetto oscillante su una molla con attrito.

• coincidenti se $\Delta = 0$, $x_1 = x_2 = - \alpha$:

  La soluzione dell’equazione differenziale è:

  $$I_{L_1}(t) = k_1 t e^{- \alpha\ t} + k_2 e^{- \alpha\ t}$$

  Il grafico è sempre una somma di due esponenziali decrescenti. Questo caso viene detto criticamente smorzato.

  

Note

Nel caso sottosmorzato con $\alpha = 0$, il grafico è quello di una sinusoidale con valori periodici costanti all’infinito.

Questo caso viene detto non smorzato e non si può mai verificare nella realtà, poiché ci sarà sempre almeno una resistenza intrinseca nel circuito.