Lezione (2025-09-24)

Manipolazione dei segnali

Traslazione temporale

Introduzione di un anticipo o un ritardo del segnale agendo sull’asse temporale.

• $\Delta t > 0$: introduco un ritardo;
• $\Delta t < 0$: introduco un anticipo;

Riscalamento temporale

Introduzione di una compressione o espansione del segnale agendo sull’asse temporale.

• $0 < k < 1$: espando il segnale;
• $k > 1$: comprimo il segnale;

Se $k$ diventa negativo, allora il segnale viene anche invertito.

Fattore di guadagno

Amplificazione o attenuazione agendo sull’ampiezza del segnale.

• $g > 1$: amplifico il segnale;
• $0 < g < 1$: attenuo il segnale;

Se $g$ diventa negativo il segnale viene ribaltato.

Integrazione e derivazione

Dato che i segnali sono descrivibili come funzioni, possiamo integrarli e derivarli:

Per le funzioni generalizzate:

• l’integrale di un impulso è un gradino e derivando un gradino si ottiene un impulso;
• derivando un impulso si ottiene un doppietto, ovvero una coppia di impulsi, uno positivo e uno negativo, centrati nell’origine;

Note

Il doppietto è definito come:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\ f(t)\ dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} \fDelta{t}\ f'(t)\ dt = - f'(0)$$

Statistiche dei segnali

Solitamente si usa la statistica su segnali di natura aleatoria, tuttavia è possibile calcolare alcuni valori interessanti anche per segnali deterministici.

Valor medio

Il valor medio di un segnale deterministico in un dato intervallo temporale $[t_1, t_2]$ è dato da:

$$\langle x(t) \rangle_{[t_1, t_2]} = \frac{1}{|t_2 - t_1|} \int_{t_1}^{t_2} x(t)\ dt$$

o su tutto il dominio:

$$\overline{x} = \langle x(t) \rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\ dt$$

Tipicamente un valor medio $\neq 0$ indica che è presente un offset costante nel segnale. In questo caso viene sottratto per ottenere solamente le variazioni.

Valore quadratico medio e varianza

Il valore quadratico medio è definito:

$$\overline{x^2} = \langle x(t)^2 \rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (x(t))^2\ dt$$

da cui possiamo ricavare la varianza:

$$\sigma_x^2 = \overline{x^2} - \overline{x}^2 = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (x(t) - \overline{x})^2\ dt$$

Una varianza elevata indica variazioni significative nel segnale, tipicamente associate ad un più elevato contenuto informativo.

Energia di un segnale

L’energia di un segnale è definita come:

$$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} (x(t))^2\ dt$$

Caution

Per i segnali periodici non ha senso calcolarla, dato $E_x$ assume un valore infinito.

I segnali per cui $E_x$ ha valore finito sono detti segnali di energia.

Potenza di un segnale

La potenza $P_x$ di un segnale è la misura della sua energia sul tempo. La formula coincide con quella del valore quadratico medio.

La potenza di un segnale di energia sarà sempre nulla, i segnali per cui $P_x$ non è nulla sono detti segnali di potenza.

Un segnale può essere o di energia o di potenza, mai entrambi.

Cross-correlazione

La cross-correlazione è utile per capire quanto 2 segnali siano simili tra loro.

Dobbiamo distinguere tra segnali di energia e di potenza:

• per 2 segnali di energia $x(t)$ e $y(t)$:

  $$\mathcal{R}_{x, y}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ y(t + \tau)\ dt$$

• per 2 segnali di potenza $x(t)$ e $y(t)$ (su un intervallo lungo $T$):

  $$\mathcal{R}_{x, y}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\ y(t + \tau)\ dt$$

In entrambi i casi lascio $x$ fermo e faccio scorrere $y$ di un fattore $\tau$.

Si usa per verificare la somiglianza perché se i segnali sono allineati, il valore dell’integrale sarà alto e positivo (i picchi e le valli hanno lo stesso segno quindi la moltiplicazione da sempre valori positivi).

Autocorrelazione: si usa per misurare quanto un segnale è uguale a se stesso in altri punti. Ha senso solo per $\tau \neq 0$.

Si dice che un segnale ha meno ‘memoria’ quando la sua auto-correlazione decade più rapidamente man mano che ci si sposta da $\tau = 0$.