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ICE notes

Piano tangente e differenziale multivariabile

Piano tangente al grafico di una funzione a 2 variabili

Section titled “Piano tangente al grafico di una funzione a 2 variabili”

Il piano tangente ad una funzione f:A⊆R2→Rf: A \subseteq \R^2 \to \R nel punto (x0,y0,f(x0,y0))(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) è definito come il piano π⊂R3\pi \subset \R^3 di equazione:

z=a (x−x0)+b (y−y0)+f(x0,y0)z = a\ (x - x_0) + b\ (y - y_0) + f(x_0, y_0)

I parametri aa e bb sono costanti tali che il piano π\pi rappresenti una buona approssimazione locale della funzione ff nel punto (x0,y0)(x_0, y_0).

Una funzione a due variabili si definisce differenziabile se è soddisfatta la seguente condizione:

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)−(f(x0,y0)+a (x−x0)+b (y−y0))d((x,y),(x0,y0))=0\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \frac{f(x, y) - (f(x_0, y_0) + a\ (x - x_0) + b\ (y - y_0))}{d((x, y), (x_0, y_0))} = 0

Se ff è differenziabile in (x0,y0)(x_0, y_0), si dimostra che in quel punto ∇f(x0,y0)=(a,b)\nabla f(x_0, y_0) = (a, b).

Generalizzazione della condizione di differenziabilità

Section titled “Generalizzazione della condizione di differenziabilità”

Data una funzione f:A⊆Rn→Rf: A \subseteq \R^n \to \R e e1,…,en\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n, vettori della base canonica di Rn\R^n, la derivata parziale ii-esima di ff in p0∈A\mathbf{p}_0 \in A esiste se:

∃ ∂f∂xi(p0)=lim⁡h→0f(p0+h ei)−f(p0)h∈R\exists\ \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p}_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{p}_0 + h\ \mathbf{e}_i) - f(\mathbf{p}_0)}{h} \in \R

Il gradiente ∇f(p0)\nabla f(\mathbf{p}_0) esiste se e solo se tutte le derivate parziali di ff esistono.

Una funzione è differenziabile in p0\mathbf{p}_0 se e solo se:

lim⁡p→p0f(p)−(f(p0)+∇f(p0)⋅(p−p0))d(p,p0)=0\lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} \frac{f(\mathbf{p}) - (f(\mathbf{p}_0) + \nabla f(\mathbf{p}_0) \cdot (\mathbf{p} - \mathbf{p}_0))}{d(\mathbf{p}, \mathbf{p}_0)} = 0

Differenziale

Section titled “Differenziale”

Il differenziale è un’applicazione lineare definita come:

df(p0)=∇f(p0)⋅(dx1,…,dxn)df(\mathbf{p}_0) = \nabla f(\mathbf{p}_0) \cdot (dx_1, \ldots, dx_n)

Esso indica il tasso di variazione di una funzione per piccoli spostamenti a partire da p0\mathbf{p}_0.

Corollario

Section titled “Corollario”

Se ff è differenziabile in p0=(x0,y0)\mathbf{p}_0 = (x_0, y_0):

  • Esiste il piano tangente a ff in (x0,y0,f(p0))(x_0, y_0, f(\mathbf{p}_0)) e la sua equazione è data da: z=f(x0,y0)+∇f(x0,y0)⋅(x−x0,y−y0)z = f(x_0, y_0) + \nabla f(x_0, y_0) \cdot (x - x_0, y - y_0);
  • La funzione ff è continua in p0\mathbf{p}_0;
  • Esiste il gradiente ∇f(p0)\nabla f(\mathbf{p}_0).