Lezione (2025-10-15)

Altre trasformate notevoli

Trasformata di un impulso traslato

Si può trovare la trasformata di un impulso ritardato di $t_0$ applicando la proprietà del ritardo:

\fDelta{t - t_0} \trFourierA e^{j 2 \pi f t_0}

Per la proprietà di dualità la trasformata di $e^{j 2 \pi f t_0}$ è quella dell’impulso traslato.

Trasformata di un treno di impulsi

Il treno di impulsi è formato da una successione di impulsi traslati a distanza $T$ :

x(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \fDelta{t - n T}

Possiamo ottenere la serie di Fourier dato che la funzione è periodica:

X_k = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \fDelta{t}\ dt = \frac{1}{T}

\newcommand{\ejpi}{e^{j 2 \pi \frac{n}{T} t}} X(f) = \mathcal{F}\left\{\sum_{n = -\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}\ \ejpi\right\} = \frac{1}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \mathcal{F}\left\{\ejpi\right\} = \frac{1}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \fDelta{f - \frac{n}{T}}

La trasformata del treno di impulsi, è a sua volta un treno di impulsi. Tanto più vicini saranno nel dominio del tempo, tanto più distanti lo saranno in quello della frequenza.

Trasformata della $\fSinc{t}$

Sappiamo già che $A\ \fRectangle{\frac{t}{T}} \trFourierA A\ T\ \fSinc{f\ T}$ .

Quindi per la dualità: $A\ \fSinc{t\ T} \trFourierA \frac{A}{T}\ \fRectangle{\frac{f}{T}}$

Trasformata della derivata

x(t) \trFourierA X(f) \implies \dv{x(t)}{t} \trFourierA j 2 \pi f X(f)

Trasformata dell’integrale

x(t) \trFourierA X(f) \implies \int_{-\infty}^t x(t)\ dt \trFourierA \frac{X(f)}{j 2 \pi f}

Si nota che a frequenza 0 c’è una singolarità:

se $X(0) = 0$ non ci sono problemi;
se $X(0) \neq 0$ , allora bisogna aggiungere un termine costante al risultato:
$\int_{-\infty}^t x(t)\ dt \trFourierA \frac{X(f)}{j 2 \pi f} + \frac{X(0)}{2} \delta(f)$

Trasformata della convoluzione

Si dimostra che la trasformata di una convoluzione $x(t) * y(t)$ diventa il prodotto $X(f)\ Y(f)$ .

Analogamente, il prodotto tra 2 segnali ha come trasformata la convoluzione delle trasformate.