Teorema del valor medio e regola della catena

Teorema del valor medio in $n$ variabili

Interpolazione lineare

$f(t) = t\ \mathbf{q} + (1 - t)\ \mathbf{p}$, con $f: [0, 1] \to \R^n$, è detta interpolazione lineare tra i punti $\mathbf{p}$ e $\mathbf{q}$. Nei linguaggi di programmazione, spesso la funzione è chiamata lerp.

L’immagine di $f$ è rappresentata dal segmento con estremi $\mathbf{p}$ e $\mathbf{q}$.

Consideriamo una funzione $f: A \subseteq \R^n \to \R$ definita su un insieme $A$ tale che:

• Esistono $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in A$ per cui il segmento $[\mathbf{p}, \mathbf{q}] = \Set{t\ \mathbf{q} + (1 - t)\ \mathbf{p}, t \in [0,1]}$ è contenuto in $A$.
• $f$ è continua sul segmento $[\mathbf{p}, \mathbf{q}]$ e differenziabile al suo interno $(\mathbf{p}, \mathbf{q})$.

In queste condizioni, esiste un punto $\mathbf{c} \in (\mathbf{p}, \mathbf{q})$ tale che:

$$f(\mathbf{q}) - f(\mathbf{p}) = \nabla f(\mathbf{c}) \cdot (\mathbf{q} - \mathbf{p})$$

Corollario: Se $\forall\ \mathbf{p} \in B(\mathbf{p}_0, r)$, il gradiente è nullo ($\nabla f(\mathbf{p}) = \mathbf{0}$), allora la funzione $f$ è costante su quell’intorno, ovvero $\forall\ \mathbf{p} \in B(\mathbf{p}_0, r),\ f(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p}_0)$.

Derivate parziali di una funzione composta di più variabili

Ripasso

La regola della catena per una funzione di una variabile $h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ è data da: $h'(x) = f'(g(x))\ g'(x)$.

Matrice Jacobiana

Sia $f: A \subseteq \R^n \to \R^m$, $f(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x}))$, con $f_i: A \to \R$.

Assumendo che per ogni $i = 1,\ldots,m$, il gradiente parziale $\nabla f_i(\mathbf{x})$ esista in $\mathbf{x}$, la matrice Jacobiana $D_f(\mathbf{x})$ è una matrice di dimensione $m \times n$ la cui $i$-esima riga è data da $\nabla f_i(\mathbf{x})$:

$$D_f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{bmatrix}$$

Note

La nozione di matrice Jacobiana generalizza la nozione di vettore gradiente per funzioni scalari. Infatti ponendo $m = 1$ si ottiene il vettore del gradiente.

Regola della catena

La regola della catena permette di calcolare le derivate parziali di una funzione composta, richiedendo solo il calcolo delle derivate parziali delle funzioni componenti.

Siano $g: A \subseteq \R^n \to \R^m$, $f: B \subseteq \R^m \to \R^k$ e supponiamo che $g(A) \subseteq B$.

Inoltre supponiamo che, dato un punto $\mathbf{x} \in A$:

• $g(\mathbf{x}) = (g_1(\mathbf{x}), \ldots, g_m(\mathbf{x}))$, con $g_i: A \to \R$ differenziabili in $\mathbf{x}$.
• $f(\mathbf{y}) = (f_1(\mathbf{y}), \ldots, f_k(\mathbf{y}))$, con $f_j: B \to \R$ differenziabili in $\mathbf{y} = g(\mathbf{x})$.

Consideriamo ora la funzione composta $h: \R^n \to \R^k$, $h(\mathbf{x}) = (f \circ g)(\mathbf{x})$; allora le funzioni $h_1, \ldots, h_k$ sono differenziabili in $\mathbf{x}$ e la matrice Jacobiana di $h$ è data dal prodotto delle matrici Jacobiane delle funzioni di partenza.

$$D_h(\mathbf{x}) = D_f(g(\mathbf{x}))\ D_g(\mathbf{x})$$