Prendiamo la definizione di potenza di un segnale periodico e sostituiamo x ( t ) x(t) x ( t )
P x = 1 T 0 ∫ 0 T 0 ( ∑ k = − ∞ + ∞ X k e j 2 π k f 0 t ∑ k ′ = ∞ + ∞ X k ′ e j 2 π k ′ f 0 t ) d t = 1 T 0 ∑ k = − ∞ + ∞ ∑ k ′ = − ∞ + ∞ X k X k ′ ∫ 0 T 0 e j 2 π ( k + k ′ ) f 0 t d t P_x = \frac{1}{T_0} \int_0^{T_0} \left(\sum_{k = -\infty}^{+\infty} X_k e^{j 2 \pi k f_0 t} \sum_{k' = \infty}^{+\infty} X_{k'} e^{j 2 \pi k' f_0 t} \right)\ dt
= \frac{1}{T_0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \sum_{k' = -\infty}^{+\infty} X_k X_{k'} \int_0^{T_0} e^{j 2 \pi (k + k') f_0 t} \ dt P x = T 0 1 ∫ 0 T 0 ( k = − ∞ ∑ + ∞ X k e j 2 π k f 0 t k ′ = ∞ ∑ + ∞ X k ′ e j 2 π k ′ f 0 t ) d t = T 0 1 k = − ∞ ∑ + ∞ k ′ = − ∞ ∑ + ∞ X k X k ′ ∫ 0 T 0 e j 2 π ( k + k ′ ) f 0 t d t ∫ 0 T 0 e j 2 π ( k + k ′ ) f 0 t \int_0^{T_0} e^{j 2 \pi (k + k') f_0 t} ∫ 0 T 0 e j 2 π ( k + k ′ ) f 0 t T 0 T_0 T 0 k + k ′ = 0 k + k' = 0 k + k ′ = 0 0 0 0
P x = 1 T 0 ∑ k = − ∞ + ∞ ∑ k ′ = − ∞ + ∞ X k X k ′ T 0 = ∑ k = − ∞ + ∞ X k 2 P_x = \frac{1}{T_0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \sum_{k' = -\infty}^{+\infty} X_k X_{k'} T_0
= \sum_{k = -\infty}^{+\infty} X_k^2 P x = T 0 1 k = − ∞ ∑ + ∞ k ′ = − ∞ ∑ + ∞ X k X k ′ T 0 = k = − ∞ ∑ + ∞ X k 2 La potenza media del segnale è pari alla somma delle potenze delle singole
armoniche.
La serie di Fourier è limitata, infatti essa si può applicare solo a segnali
periodici. Noi vogliamo generalizzare.
Prendiamo un onda quadra di ampiezza unitaria con ritorno a 0 0 0 T 0 T_0 T 0 τ \tau τ
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ Π ( t − k T 0 τ ) ⟺ X k = τ T 0 sinc ( 2 π k f 0 t ) x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \fRectangle{\frac{t - k T_0}{\tau}} \iff X_k = \frac{\tau}{T_0}\ \fSinc{2 \pi k f_0 t} x ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ Π ( τ t − k T 0 ) ⟺ X k = T 0 τ sinc ( 2 π k f 0 t ) Per de-periodizzare il segnale possiamo far tendere T 0 T_0 T 0 ± ∞ \pm \infty ± ∞
x ( t ) ∼ Π ( t τ ) x(t) \sim \fRectangle{\frac{t}{\tau}} x ( t ) ∼ Π ( τ t )
Prendiamo un segnale periodico x ( t ) x(t) x ( t ) w ( t ) w(t) w ( t )
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ w ( t − k T 0 ) = w ( t ) ∗ ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( t − k T 0 ) x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} w(t - k T_0) = w(t) * \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \delta(t - k T_0) x ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ w ( t − k T 0 ) = w ( t ) ∗ k = − ∞ ∑ + ∞ δ ( t − k T 0 ) Per T 0 → ∞ T_0 \to \infty T 0 → ∞ x ( t ) x(t) x ( t ) w ( t ) w(t) w ( t )
All’allontanarsi delle repliche del segnale, le righe dello spettro diventano
sempre più fitte (le frequenze hanno distanza 1 T 0 \frac{1}{T_0} T 0 1
Lo spettro tende a diventare una funzione continua, la cui ampiezza tende a 0 0 0
X k ′ = X k T 0 = ∫ − T 0 2 T 0 2 w ( t ) e j 2 π k f 0 t d t X'_k = X_k\ T_0 = \int_{- \frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} w(t)\ e^{j 2 \pi k f_0 t}\ dt X k ′ = X k T 0 = ∫ − 2 T 0 2 T 0 w ( t ) e j 2 π k f 0 t d t e quindi la relativa serie modificata:
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ X k ′ e j 2 π k f 0 t f 0 x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} X'_k\ e^{j 2 \pi k f_0 t}\ f_0 x ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ X k ′ e j 2 π k f 0 t f 0 La trasformata di Fourier e la sua inversa si ottengono portando T 0 T_0 T 0 ∞ \infty ∞
Inversa (IFT):
x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( f ) e j 2 π k f t d f x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\ e^{j 2 \pi k f t}\ df x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( f ) e j 2 π k f t df Diretta (FT):
X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e j 2 π k f t d t X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ e^{j 2 \pi k f t}\ dt X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e j 2 π k f t d t
A differenza della serie, X ( f ) X(f) X ( f ) f f f
x ( t ) ↔ F X ( f ) x(t) \trFourierA X(f) x ( t ) F X ( f )
Simmetrie :
Hermitiana: X ( f ) = X ( − f ) ‾ X(f) = \overline{X(-f)} X ( f ) = X ( − f )
segnale pari: X ( f ) = 2 ∫ 0 + ∞ x ( t ) cos ( 2 π f t ) d t X(f) = 2 \int_0^{+\infty} x(t)\ \fCos{2 \pi f t}\ dt X ( f ) = 2 ∫ 0 + ∞ x ( t ) cos ( 2 π f t ) d t
segnale dispari: X ( f ) = − 2 j ∫ 0 + ∞ x ( t ) sin ( 2 π f t ) d t X(f) = - 2 j \int_0^{+\infty} x(t)\ \fSin{2 \pi f t}\ dt X ( f ) = − 2 j ∫ 0 + ∞ x ( t ) sin ( 2 π f t ) d t
Linearità : z ( t ) = a x ( t ) + b y ( t ) ⟹ Z ( f ) = a X ( f ) + b Y ( f ) z(t) = a\ x(t) + b\ y(t) \implies Z(f) = a\ X(f) + b\ Y(f) z ( t ) = a x ( t ) + b y ( t ) ⟹ Z ( f ) = a X ( f ) + b Y ( f )
Fattore di scala :
x ( t ) ↔ F X ( f ) ⟹ x ( α t ) ↔ F 1 α X ( f α ) x(t) \trFourierA X(f) \implies x(\alpha\ t) \trFourierA \frac{1}{\alpha} X\left(\frac{f}{\alpha}\right) x ( t ) F X ( f ) ⟹ x ( α t ) F α 1 X ( α f )
Se comprimiamo un segnale, le frequenze diventano più alte e quindi lo spettro
si allarga. Se lo espandiamo succede il contrario.
Ritardo :
x ( t ) ↔ F X ( f ) ⟹ x ( t − T ) ↔ F X ( f ) e − j 2 π f T x(t) \trFourierA X(f) \implies x(t - T) \trFourierA X(f)\ e^{-j 2 \pi f T} x ( t ) F X ( f ) ⟹ x ( t − T ) F X ( f ) e − j 2 π f T
Non modifico le componenti frequenziali, cambia solo la loro fase. Lo
sfasamento è proporzionale alla frequenza.
Teorema di dualità :
( x ( t ) ↔ F X ( f ) ) ⟺ ( X ( t ) ↔ F x ( − f ) ) (x(t) \trFourierA X(f)) \iff (X(t) \trFourierA x(-f)) ( x ( t ) F X ( f )) ⟺ ( X ( t ) F x ( − f ))
Nella seconda corrispondenza, X ( t ) X(t) X ( t ) X ( f ) X(f) X ( f ) x ( − f ) x(-f) x ( − f ) x ( t ) x(t) x ( t )
Se conosciamo la trasformata di un segnale, allora possiamo ricavare anche
quella del segnale che ha l’andamento del suo spettro.
Esempio :
F { 1 } = δ ( f ) ⟹ F { δ ( t ) } = 1 \mathcal{F}\{1\} = \fDelta{f} \implies \mathcal{F}\{\fDelta{t}\} = 1 F { 1 } = δ ( f ) ⟹ F { δ ( t ) } = 1
L’impulso è l’unica funzione che contiene tutte le frequenze con uguale
intensità.
Teorema della convoluzione : x ( t ) ∗ y ( t ) ⟺ X ( f ) Y ( f ) x(t) * y(t) \iff X(f) Y(f) x ( t ) ∗ y ( t ) ⟺ X ( f ) Y ( f )
rettangolo:
x ( t ) = A Π ( t T ) ↔ F X ( F ) = A T sinc ( f T ) x(t) = A \fRectangle{\frac{t}{T}} \trFourierA X(F) = A\ T\ \fSinc{f\ T} x ( t ) = A Π ( T t ) F X ( F ) = A T sinc ( f T )
costante: x ( t ) = A ↔ F X ( f ) = A δ ( f ) x(t) = A \trFourierA X(f) = A\ \fDelta{f} x ( t ) = A F X ( f ) = A δ ( f )
esponenziale causale (con α > 0 \alpha > 0 α > 0 x ( t ) = θ ( t ) e − A t ↔ F X ( f ) = 1 α + j 2 π f x(t) = \fStep{t}\ e^{-A\ t} \trFourierA X(f) = \frac{1}{\alpha + j 2 \pi f} x ( t ) = θ ( t ) e − A t F X ( f ) = α + j 2 π f 1
sinusoidi, contengono una sola componente frequenziale:
x ( t ) = cos ( 2 π f 0 t ) ↔ F X ( f ) = 1 2 ( δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 ) ) x(t) = \fCos{2 \pi f_0 t} \trFourierA X(f) = \frac{1}{2}(\fDelta{f + f_0} + \fDelta{f - f_0}) x ( t ) = cos ( 2 π f 0 t ) F X ( f ) = 2 1 ( δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 ) ) x ( t ) = sin ( 2 π f 0 t ) ↔ F X ( f ) = j 2 ( δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 ) ) x(t) = \fSin{2 \pi f_0 t} \trFourierA X(f) = \frac{j}{2}(\fDelta{f + f_0} - \fDelta{f - f_0}) x ( t ) = sin ( 2 π f 0 t ) F X ( f ) = 2 j ( δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 ) )
