Nel dominio del tempo, gli unici tipi di ingresso per cui possiamo risolvere un
circuito RLC sono il gradino e l’impulso. La risposta sarà data dalla
convoluzione tra l’ingresso e la risposta impulsiva: y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) y(t) = x(t) * h(t) y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t )
Abbiamo poi introdotto il concetto di fasore, che permette di trovare la
soluzione per ingressi di tipo sinusoidale. In questo caso si può caratterizzare
il circuito con la funzione di trasferimento:
Y ~ = H ~ ( ω ) X ~ \tilde{Y} = \tilde{H}(\omega)\ \tilde{X} Y ~ = H ~ ( ω ) X ~
Il primo passo che possiamo fare verso una generalizzazione è quello delle serie
di Fourier, che ci permetteranno di analizzare la risposta di un circuito con un
ingresso periodico qualsiasi.
Consideriamo una funzione f ( x ) f(x) f ( x ) T T T − ∞ -\infty − ∞ + ∞ +\infty + ∞
La serie di Fourier di f f f
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ( 2 π n x T ) + ∑ n = 1 + ∞ b n sin ( 2 π n x T ) f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n\ \cos\left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) + \sum_{n = 1}^{+\infty} b_n\ \sin\left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) f ( x ) = 2 a 0 + n = 1 ∑ + ∞ a n cos ( T 2 π n x ) + n = 1 ∑ + ∞ b n sin ( T 2 π n x ) dove:
a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) cos ( 2 π n x T ) d x b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) sin ( 2 π n x T ) d x \begin{array}{c}
a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(x)\ \cos\left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) dx \\[10pt]
b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(x)\ \sin\left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) dx
\end{array} a n = T 2 ∫ − 2 T 2 T f ( x ) cos ( T 2 π n x ) d x b n = T 2 ∫ − 2 T 2 T f ( x ) sin ( T 2 π n x ) d x D’ora in poi ω = 2 π T \omega = \frac{2 \pi}{T} ω = T 2 π
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n e j n ω x + e − j n ω x 2 + b n e j n ω x − e − j n ω x 2 j = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n e j n ω x + e − j n ω x 2 + b n j j e j n ω x − e − j n ω x 2 j = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n e j n ω x + e − j n ω x 2 − b n j e j n ω x − e − j n ω x 2 = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n − j b n 2 e j n ω x + a n + j b n 2 e − j n ω x = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e j n ω x \begin{array}{ll}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \frac{e^{j n \omega x} + e^{- j n \omega x}}{2} + b_n \frac{e^{j n \omega x} - e^{- j n \omega x}}{2 j} \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \frac{e^{j n \omega x} + e^{- j n \omega x}}{2} + b_n \frac{j}{j} \frac{e^{j n \omega x} - e^{- j n \omega x}}{2 j} \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \frac{e^{j n \omega x} + e^{- j n \omega x}}{2} - b_n j \frac{e^{j n \omega x} - e^{- j n \omega x}}{2} \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{a_n - j b_n}{2} e^{j n \omega x} + \frac{a_n + j b_n}{2} e^{- j n \omega x} \\
&= \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n\ e^{j n \omega x}
\end{array} f ( x ) = 2 a 0 + ∑ n = 1 + ∞ a n 2 e j nω x + e − j nω x + b n 2 j e j nω x − e − j nω x = 2 a 0 + ∑ n = 1 + ∞ a n 2 e j nω x + e − j nω x + b n j j 2 j e j nω x − e − j nω x = 2 a 0 + ∑ n = 1 + ∞ a n 2 e j nω x + e − j nω x − b n j 2 e j nω x − e − j nω x = 2 a 0 + ∑ n = 1 + ∞ 2 a n − j b n e j nω x + 2 a n + j b n e − j nω x = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e j nω x dove:
c n = a n − j b n 2 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) cos ( n ω x ) d x − j T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) sin ( n ω x ) d x = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) ( cos ( n ω x ) − j sin ( n ω x ) ) d x = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e − j n ω x d x \begin{array}{ll}
c_n &= \frac{a_n - j b_n}{2} \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(x)\ \cos(n \omega x)\ dx - \frac{j}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\ \sin(n \omega x)\ dx \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(x) (\cos(n \omega x) - j \sin(n \omega x)) dx \\
&= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(x)\ e^{- j n \omega x} dx
\end{array} c n = 2 a n − j b n = T 1 ∫ − 2 T 2 T f ( x ) cos ( nω x ) d x − T j ∫ − 2 T 2 T f ( x ) sin ( nω x ) d x = T 1 ∫ − 2 T 2 T f ( x ) ( cos ( nω x ) − j sin ( nω x )) d x = T 1 ∫ − 2 T 2 T f ( x ) e − j nω x d x Una trasformata è una funzione che moltiplica l’originale per un certo kernel,
restituendo una nuova funzione con un dominio diverso:
g ( α ) = ∫ a b f ( x ) K ( α , x ) d x g(\alpha) = \int_a^b f(x)\ K(\alpha, x)\ dx g ( α ) = ∫ a b f ( x ) K ( α , x ) d x Il kernel per la trasformata di Fourier è K ( α , x ) = e − j α x K(\alpha, x) = e^{- j \alpha x} K ( α , x ) = e − j α x
La trasformata esiste solo se l’integrale
∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|\ dt < \infty ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ f ∈ L 1 ( R ) f \in L^1(\R) f ∈ L 1 ( R )
È una condizione sufficiente ma non necessaria, ad esempio esiste la trasformata
di cos ( t ) \cos(t) cos ( t )