Derivate parziali superiori e formule di Taylor

Derivate parziali di ordine superiore

Sia $f: A \subseteq \R^n \to \R$ e assumiamo che $\forall\ i = 1,\ldots,n,\ \exists\ \frac{\partial f}{\partial x_i}$. La derivata seconda rispetto alla direzione $j$-esima della derivata $i$-esima è definita come:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\ \partial x_i}(\mathbf{x}) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)(\mathbf{x})$$

Se $j = i$, la derivata parziale seconda è denominata pura; altrimenti, è detta mista.

Matrice Hessiana

La matrice Hessiana di $f: \R^n \to \R$ è la matrice $n \times n$ definita da:

$$D_f^2(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\ \partial x_n}(\mathbf{x}) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\ \partial x_1}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(\mathbf{x}) \end{bmatrix}$$

Note

I coefficienti sulla diagonale della matrice rappresentano le derivate parziali seconde pure.

Teorema sull’inversione dell’ordine di derivazione di Schwarz

In generale, le derivate parziali seconde miste opposte tra loro (rispetto alla diagonale dell’Hessiana) possono essere diverse.

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\ \partial x_i} \neq \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\ \partial x_j}$$

L’uguaglianza tra queste derivate in un punto $\mathbf{x}$ è garantita se le due derivate parziali seconde sono continue in un intorno di $\mathbf{x}$:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\ \partial x_i}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\ \partial x_j} \in C^0(\mathbf{x}) \implies \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\ \partial x_i}(\mathbf{x}) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\ \partial x_j}(\mathbf{x})$$

Ordini di continuità superiori

Si dice che $f$ sia di classe $C^m(A)$ se tutte le sue derivate parziali $m$-esime sono continue e $f \in C^{m - 1}(A)$.

Tip

Se $f \in C^m(A)$ e $m \geq 2$, allora sono soddisfatte le ipotesi del teorema sull’inversione dell’ordine di derivazione per le derivate parziali seconde.

Formula di Taylor

Problema: Data una funzione $f: B(\mathbf{p}_0, r) \subseteq \R^2 \to \R$, di classe $C^m(B(\mathbf{p}_0, r))$; come la si può approssimare con un polinomio di 2 variabili di ordine $m$ nel modo migliore possibile?

Preso un punto $\mathbf{p}_0 = (x_0, y_0) \in \R^2$, si definisce come polinomio di ordine $m$ di 2 variabili, centrato in $\mathbf{p}_0$, una funzione $T: \R^2 \to \R$ del tipo:

$$T_{m, \mathbf{p}_0}(x, y) = \sum_{h = 0}^m \sum_{i = 0}^h c_{i, h-i}\ (x - x_0)^i\ (y - y_0)^{h - i}$$

dove i coefficienti $c_{i, h - i} \in \R$ sono $\frac{(m + 1)(m + 2)}{2}$ in totale.

L’approssimazione di $f(\mathbf{p})$ in $\mathbf{p}_0$ è data dal valore del polinomio più un errore di ordine superiore:

$$f(\mathbf{p}) = T_{m, \mathbf{p}_0}(\mathbf{p}) + o(||\mathbf{p} - \mathbf{p}_0||^m)$$

Formula di Taylor di 2° ordine con resto di Peano

Presi $\mathbf{p}_0 \in \R^2$ e $f \in C^2(B(\mathbf{p}_0, r))$:

$$T_{2, \mathbf{p}_0}(\mathbf{p}) = f(\mathbf{p}_0) + \nabla f(\mathbf{p}_0) \cdot (\mathbf{p} - \mathbf{p}_0) + \frac{1}{2} (D_f^2(\mathbf{p}_0)\ (\mathbf{p} - \mathbf{p}_0)) \cdot (\mathbf{p} - \mathbf{p}_0)$$

Tip

Il simbolo $o$ indica una classe di funzioni che tende a $0$ più velocemente della funzione argomento:

$$o(f(\mathbf{p})) \text{ per } \mathbf{p} \to \mathbf{p}_0 \implies \lim_{\mathbf{p} \to \mathbf{p}_0} \frac{o(f(\mathbf{p}))}{f(\mathbf{p})} = 0$$