Reti LTI sinusoidali e impedenza complessa

Soluzione di una rete LTI con ingresso sinusoidale

La scorsa lezione abbiamo visto che è possibile trovare la soluzione di una generica rete LTI con ingresso sinusoidale.

In genere $s_i$ è un numero complesso. Chiameremo $s'_i$ la parte reale e $s''_i$ la parte immaginaria.

y_h(t) = \sum_{i = 1}^n\ k_i\ e^{s_i t} = \sum_{i = 1}^n\ k_i\ e^{s'_i t} e^{j s''_i t}

Se $s'_i > 0$ , allora $\lim_{t \to \infty} y_h(t) = \infty$ . Questo non è accettabile perché il sistema arriverebbe a consumare una quantità di energia infinita.
Se $s'_i = 0$ , il circuito oscilla con ampiezza costante. Non è realistico perché c’è sempre una quantità di energia che viene dissipata sotto forma di calore.
Se $s'_i < 0$ , allora $\lim_{t \to \infty} y_h(t) = 0$ . Ci troviamo nei casi smorzati visti in precedenza.

Collegamento di un generatore ad un dipolo

Prendo un generatore $i(t) = \Re{\tilde{I}\ e^{j \omega t}}$ .

┌─────┐
│+    │
i(t)  B
│-    │
└─────┘

Dipolo di tipo resistore ( $B = R$ )

v(t) = R\ i(t) \iff \Re{\tilde{V}\ e^{j \omega t}} = \Re{R\ \tilde{I}\ e^{j \omega t}} \iff \tilde{V} = R \tilde{I}

Dipolo di tipo capacitore ( $B = C$ )

i(t) = C \dv{v}{t}(t) \iff \Re{\tilde{I}\ e^{j \omega t}} = \Re{C \dv{\tilde{V}\ e^{j \omega t}}{t}} = \Re{C j \omega \tilde{V} e^{j \omega t}} \iff \tilde{I} = j \omega C \tilde{V} \iff \tilde{V} = \frac{\tilde{I}}{j \omega C}

Dipolo di tipo induttore ( $B = L$ )

v(t) = L \dv{i}{t}(t) \iff \Re{\tilde{V}\ e^{j \omega t}} = \Re{L \dv{\tilde{I} e^{j \omega t}}{t}} = \Re{L j \omega \tilde{I} e^{j \omega t}} \iff \tilde{V} = j \omega L \tilde{I}

Impedenza

L’impedenza è il corrispettivo della resistenza per i circuiti a corrente alternata. È un numero costante nel tempo e dipendente solamente dalla frequenza di un circuito, definito come:

Z = \frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}

Per il resistore: $Z = R$ ;
Per il capacitore: $Z = \frac{1}{j \omega C}$ ;
Per l’induttore: $Z = j \omega L$ ;

In generale $Z$ è un numero complesso, quindi $|Z| = \frac{|\tilde{V}|}{|\tilde{I}|}$ e $\theta_Z = \theta_{\tilde{V}} - \theta_{\tilde{I}}$ .

Impedenze in serie e parallelo

Si ricavano facilmente con le leggi di Kirchhoff.

in serie: $Z_{\text{tot}} = \sum_i Z_i$ ;
in parallelo: $\frac{1}{Z_{\text{tot}}} = \sum_i \frac{1}{Z_i}$ ;

Circuito RLC in parallelo con fasori

Prendo un circuito dove resistore, condensatore e induttore sono in parallelo. La corrente in entrata ha andamento sinusoidale $i_s(t) = \Re{\tilde{I}_s\ e^{j \omega t}}$ .

┌───────┬────┬────┐
i_s(t)  C_1  L_1  R_1
└───────┴────┴────┘

Supponiamo di voler trovare $i_{R_1}(t)$ . Bastano 2 equazioni (+ quelle per trovare l’impedenza):

\begin{cases} \tilde{I}_{R_1} = \frac{\tilde{V}_s}{R_1} \\ \tilde{I}_s = \frac{\tilde{V}_s}{Z_{\text{tot}}} \\ \end{cases}

\tilde{I}_{R_1} = \frac{Z_{\text{tot}}}{R_1} \tilde{I}_s

Con una formula algebrica abbiamo trovato il risultato, senza dover risolvere equazioni differenziali. Poi basta riconvertire il fasore della corrente sulla resistenza in un’onda sinusoidale.