Forme differenziali esatte chiuse e integrali

Integrale curvilineo di II specie per curve equivalenti

Siano $E \subseteq \R^n$ un insieme, $\gamma: [a, b] \to E$ e $\tilde{\gamma}: [\alpha, \beta] \to E$ curve equivalenti di classe $C^1$, e $\omega$ una forma differenziale di classe $C^0(E)$.

• Se $\gamma$ e $\tilde{\gamma}$ hanno lo stesso verso, allora $\int_\gamma \omega = \int_{\tilde{\gamma}} \omega$.
• Se $\gamma$ e $\tilde{\gamma}$ hanno verso opposto, allora $\int_\gamma \omega = - \int_{\tilde{\gamma}} \omega$.

Forme differenziali esatte (o campi vettoriali conservativi)

Sia $E \subseteq \R^n$ un insieme aperto e sia $U: E \to \R$ una funzione di classe $C^1(E)$.

Possiamo associare ad $U$ la forma differenziale:

$$dU = \nabla U \cdot d\mathbf{x} = \frac{\partial U}{\partial x_1} dx_1 + \ldots + \frac{\partial U}{\partial x_n} dx_n$$

Note

Questa forma è anche denominata differenziale di $U$, poiché coincide con la notazione standard per il differenziale di una funzione scalare.

Sia $\omega = F \cdot d\mathbf{x}$, dove $F: E \to \R^n$ è un campo vettoriale di classe $C^0(E)$. La forma differenziale $\omega$ è esatta in $E$ se esiste una funzione $U$ tale che:

$$\forall\ \mathbf{x} \in E,\ \nabla U(\mathbf{x}) = F(\mathbf{x})$$

o, in forma differenziale:

$$dU = \omega$$

In questo caso, $U$ è detta funzione potenziale (o primitiva) di $\omega$ (o di $F$) in $E$.

Integrale per forme esatte

Sia $\omega = F \cdot d\mathbf{x}$ una forma differenziale continua ed esatta su $E$. Allora, per ogni curva $\gamma: [a, b] \to E$ di classe $C^1$ a tratti, vale il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$$\int_\gamma \omega = U(\gamma(b)) - U(\gamma(a))$$

dove $U$ è una funzione potenziale di $\omega$.

Dalla definizione di forma esatta, segue che se $\omega$ è una forma esatta su $E$, allora per ogni curva chiusa $\gamma: [a, b] \to E$ di classe $C^1$ a tratti:

$$\oint_\gamma \omega = 0$$

Forme differenziali chiuse

Definiamo ora il criterio per verificare l’ipotesi di esattezza di una forma differenziale.

Sia $E \subseteq \R^n$ un insieme aperto e sia $\omega = F \cdot d\mathbf{x}$, dove $F: E \to \R^n$ è un campo vettoriale con componenti $F_i \in C^1(E)$.

La forma $\omega$ è chiusa in $E$ se è verificata la condizione di Jacobi (o regola delle derivate in croce):

$$\forall\ i,j \in \Set{1,\ldots,n},\ \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(\mathbf{x}) = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}(\mathbf{x})$$

Se $\omega \in C^1(E)$, si ha la seguente implicazione:

$$\omega \text{ esatta in } E \implies \omega \text{ chiusa in } E$$

Condizione sufficiente per l’esattezza di una forma differenziale

Sia $E \subseteq \R^n$ un insieme aperto e convesso.

Tip

Un insieme è convesso se, per ogni coppia di punti $p$ e $q$ appartenenti a $E$, il segmento che li unisce è interamente contenuto in $E$:

$$\forall\ p,q \in E,\ [p, q] = \Set{t\ p + (1 - t)\ q \mid 0 \leq t \leq 1} \subset E$$

Se $\omega \in C^1(E)$, allora la condizione di chiusura è necessaria e sufficiente per l’esattezza:

$$\omega \text{ esatta in } E \iff \omega \text{ chiusa in } E$$