Lezione (2025-09-11)

Modellazione di un sistema

Modellare un sistema significa creare un modello matematico che spiega come il sistema agisce su un segnale.

Dato che un modello ci permette di capire come ogni blocco modificherà il segnale senza realizzarlo, si può usare per:

• progettare catene che abbiano una funzione scelta da noi;
• prevedere il funzionamento di un dato sistema;
• realizzare simulatori software;

Modello matematico di un segnale

Il segnale è legato alla variazione di una grandezza fisica in un certo dominio. Dal punto di vista matematico questo può essere espresso tramite una funzione che restituisce i valori assunti dalla grandezza nel dominio.

In base al codominio:

• segnale scalare: per ogni punto del dominio, restituisce un unico valore reale (Esempio: audio);
• segnale vettoriale: per ogni punto del dominio, restituisce più valori (Esempio: immagine RGB);

In base al dominio:

• segnale mono-dimensionale: cambia solo rispetto una variabile (Esempio: un segnale che cambia nel tempo);
• segnale multi-dimensionale: cambia rispetto a più variabili (Esempio: un segnale che cambia in base alla posizione in cui si rileva);

Parametri usati per classificare un segnale

Dominio

• segnali a dominio continuo: possono essere misurati in ogni punto del dominio, che è quindi una variabile reale;
• segnali a dominio discreto: possono essere misurati solo in un insieme di punti predefiniti;

Ampiezza

• segnali ad ampiezza continua: possono assumere con continuità tutti i valori reali in un certo intervallo;
• segnali ad ampiezza discreta: possono assumere valori compresi in un insieme numerabile;

Note

In base a dominio ed ampiezza sono definite 4 categorie di segnali:

• analogici: dominio e ampiezza continui;
• campionati: dominio discreto e ampiezza continua;
• quantizzati: dominio continuo e ampiezza discreta;
• digitali: dominio e ampiezza discreti;

In natura i segnali hanno prevalentemente forma analogica, la loro controparte digitale viene solitamente ottenuta tramite elaborazioni artificiali.

Periodicità

• segnali periodici: si ripetono uguali a se stessi ad ogni intervallo di tempo prefissato, detto periodo;
  • la ripetizione continua all’infinito;
  • matematicamente: $x(t + kT) = x(t)$, dove $T$ è il periodo;
• segnali aperiodici: segnali che non sempre si ripetono;

Natura deterministica o aleatoria

• segnali deterministici: il valore del segnale è univocamente definito una volta fissate le variabili di dominio. Un segnale è deterministico quando esso corrisponde ad una funzione analitica nota, oppure è una registrazione di un segnale aleatorio.
• segnali aleatori: non è possibile conoscere con esattezza a priori il valore assunto dal segnale in un certo istante.

In questo corso ci concentreremo solo sui segnali deterministici.

Breve ripasso sui numeri complessi

• $z = x + i y \in \C$
• $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \in \R$
• $\theta = \arg{z} = \fArctan{\frac{y}{x}} \in \R$

Formule di Eulero:

• $\fCos{\theta} = \frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2}$
• $\fSin{\theta} = \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2 i}$
• $e^{i \theta} = \fCos{\theta} + i \sin{\theta}$
• $z = r e^{i \theta}$

Funzioni complesse

Una funzione complessa è una funzione di variabile reale o complessa che restituisce valori complessi.

Proprietà dei segnali

Simmetria

Una funzione ha simmetria nel dominio $D$:

• pari, se $x(t) = x(-t)\ \forall\ t \in D$ (funzione simmetrica rispetto all’asse y);
• dispari, se $x(-t) = -x(t)\ \forall\ t \in D$ (funzione simmetrica rispetto alla retta $y = x$);

Altrimenti la funzione non ha proprietà di simmetria.

Causalità

Si dice causale un sistema per cui:

$$\forall\ t < t_0,\ h(t) = 0$$

La funzione gradino unitario ($\fStep{t}$) ha valore $0$ prima di $t_0$ e $1$ dopo. Qualsiasi segnale causale può essere rappresentato come il prodotto tra una funzione e il gradino unitario.

Funzioni notevoli

Rettangolo simmetrico

$$A\ \fRectangle{\frac{t}{T}} = \begin{cases} |t| \leq \frac{T}{2} \implies A \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}$$

Definisce un segnale rettangolare con base $T$ e altezza $A$, centrato in $0$.

Funzione gradino unitario

$$\fStep{t} = \begin{cases} t \geq 0 \implies 1 \\ t < 0 \implies 0 \end{cases}$$

Usata per rappresentare segnali causali.

Funzione segno

$$\fSign{t} = 2\ \fStep{t} - 1$$

Triangolo simmetrico

$$A\ \fThriangle{\frac{t}{T}} = \begin{cases} |t| \leq \frac{T}{2} \implies \frac{A (\frac{T}{2} - |t|)}{\frac{T}{2}} \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}$$

Triangolo di altezza $A$ e base $T$.

Funzione $\fSinc{t}$

$$\fSinc{t} = \frac{\fSin{\pi t}}{\pi t}$$

Funzione impulso unitario (o delta di Dirac)

È una funzione generalizzata, ovvero definita unicamente sulla base delle sue proprietà (integrali).

Chiamiamo impulso unitario la funzione $\fDelta{t}$ che, data una generica funzione di test $f(t)$, continua ed integrabile, soddisfa la seguente uguaglianza:

$$\int_{- \infty}^{+ \infty} f(t)\ \fDelta{t}\ dt = f(0)$$

Possiamo ottenere una funzione che soddisfi questa proprietà partendo da un rettangolo di area unitaria e durata $T$. Portando al limite $T \to 0$ si ottiene:

$$\fDelta{t} = \lim_{T \to 0} \frac{1}{T} \fRectangle{\frac{t}{T}} = \begin{cases} t = 0 \implies + \infty \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}$$