Trasferimento di segnale e componenti elettrici

Trasferimento di segnale e di potenza

Prendiamo un circuito composto da un generatore di tensione ($V_s$: $s$ sta per source) e 2 resistenze $R_s$ (source resistance) e $R_l$ (load resistance).

┌──R_s──┐
│+      │
V_s     R_l
│-      │
└───────┘

Tip

Le lettere ‘l’ e ‘s’ sono una convenzione standard in elettronica, per distinguere la parte che invia il segnale (source) e quella che lo riceve (load).

Segnale

Se volessimo un efficiente trasferimento di segnale, la resistenza $R_l$ dovrebbe essere molto più grande di $R_s$ perché vogliamo massimizzare la tensione ai capi della resistenza di carico.

Potenza

La potenza è data da $P = V_l\ I_l$. Dobbiamo quindi trovare il valore della resistenza che massimizza questa grandezza.

$V_l = V_s \frac{R_l}{R_s + R_l}$ e $I_l = \frac{V_s}{R_s + R_l}$, quindi $P = \frac{V_s^2\ R_l}{(R_s + R_l)^2}$. Per massimizzare, calcoliamo la derivata rispetto ad $R_l$ (l’unico parametro variabile) e studiamo i punti in cui essa si annulla.

In condizioni ideali, il risultato è che il valore da assegnare a $R_l$ per massimizzare la potenza trasferita è sempre uguale a $R_s$.

Condensatore

$$Q(t) = f(V(t))$$

Simbolo:

Restrizioni:

• linearità: $Q(t) = C(t)\ V(t)$;
• tempo-invarianza: $Q(t) = C\ V(t)$;

Corrente che passa attraverso un condensatore: $I(t) = \frac{dQ}{dt}(t) = C \frac{dV}{dt}(t)$.

Se invertiamo l’equazione possiamo trovare la differenza di potenziale del condensatore a partire dalla corrente che passa:

$$\begin{array}{c} I(t)\ dt = C\ dV(t) \\ \Updownarrow \\ \int_{V(t_0)}^{V(t)} dV = \frac{1}{C} \int_{t_0}^t I(t)\ dt \\ \Updownarrow \\ V(t) = \frac{1}{C} \int_{t_0}^t I(t)\ dt + V(t_0) \end{array}$$

I condensatori sono componenti che mantengono la carica anche quando la corrente del circuito si interrompe. Infatti, in assenza di corrente, la tensione è costante nel tempo (dipende solo dal valore presente a $t_0$).

Danger

Quando si lavora con un circuito elettrico bisogna assicurarsi che i condensatori siano scarichi, altrimenti si rischia di rimanere fulminati.

Induttore

$$\Phi_B(t) = f(I(t))$$

Simbolo:

Restrizioni:

• linearità: $\Phi_B(t) = L(t)\ I(t)$;
• tempo-invarianza: $\Phi_B(t) = L\ I(t)$;

Tensione sui capi di un induttore: $V(t) = \frac{d\Phi_B}{dt}(t) = L \frac{dI}{dt}(t)$

Conseguenze:

• se la corrente è costante nel tempo, la sua derivata è 0 e la tensione diventa 0;
• l’induttore immagazzina energia nel campo magnetico generato dalla corrente; è solo la variazione della corrente a provocare una reazione;

Calcolo dell’induttanza di un induttore

Il solenoide è un classico esempio di induttore. Considerato un solenoide di lunghezza $l$ e numero di spire $N$, il campo magnetico al suo interno è dato dalla legge di Ampère:

$$\oint \vec{B}(t) \cdot \vec{dl} = \mu_0\ N\ I(t) \iff B(t) = \mu_0\ I(t) \frac{N}{l}$$

Per trovare l’induttanza $L$ devo conoscere l’area $A$ di una singola spira, da cui posso ricavare il flusso magnetico passante attraverso una spira.

$$\Phi_B(t) = B(t)\ A = \mu_0\ I(t) \frac{N\ A}{l}$$

L’induttanza è definita come il rapporto tra il flusso magnetico totale (legatura di flusso) e la corrente che lo genera. Poiché il solenoide ha $N$ spire, il flusso totale è $N \Phi_B(t)$.

$$L = \frac{N \Phi_B(t)}{I(t)} = \mu_0 \frac{N^2\ A}{l}$$