Lezione (2025-11-12)

Segnali digitali

I computers al giorno d’oggi trattano bit, non segnali continui. I vantaggi di un segnale digitale sono l’efficienza e la robustezza della trasmissione e archiviazione.

Un segnale digitale rimane invariato anche se viene applicata una certa quantità di rumore, basta definire una soglia adeguata tra i vari valori.

Conversione analogico-digitale

I segnali digitali sono discreti sia nel dominio che nell’ampiezza, quindi per convertire segnali analogici bisogna operare 3 trasformazioni:

• campionamento: discretizzazione del dominio;
• quantizzazione: discretizzazione dell’ampiezza;
• codifica: rappresentazione dei campioni quantizzati (di solito è binaria);

Campionamento

Campionare un segnale significa estrarre i valori che esso assume in istanti temporali equi-spaziati, multipli di un intervallo di tempo $T_c$ chiamato periodo di campionamento.

Matematicamente un campione si può modellare come la funzione continua, moltiplicata per l’impulso traslato:

$$x(t)\ \fDelta{t - n T_c} = x(n T_c)\ \fDelta{t - n T_c}$$

A questo punto basta ripetere l’operazione attraverso un treno di impulsi:

$$x_c(t) = x(t) \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \fDelta{t - n T_c}$$

Aliasing e periodo di campionamento

Dobbiamo ora capire come fissare un $T_c$ opportuno. Apparentemente, l’operazione sembra distruttiva, infatti si perdono le informazioni sull’andamento del segnale tra 2 impulsi successivi.

Quindi, intuitivamente si dovrebbe far tendere $T_c$ a $0$, ma è impossibile prendere un numero infinito di campioni.

Dimostriamo che non è vero: se un segnale $x(t)$ ha durata infinita allora il suo spettro sarà limitato alla frequenza $f_\text{max}$. Se trasformiamo (con Fourier) il segnale campionato, otterremo un segnale con lo spettro di $x(t)$ moltiplicato per $\frac{1}{T_c}$ e ripetuto con periodicità $\frac{1}{T_c}$ sull’asse delle frequenze.

Se isoliamo solo lo spettro della banda di base e lo moltiplichiamo per $T_c$, otteniamo esattamente lo spettro di $x(t)$. Quindi nessuna informazione sul segnale è stata persa.

L’unico caso in cui questo non vale è quello in cui il valore di $T_c$ è abbastanza basso da permettere agli spettri di sovrapporsi. Per risolvere è necessario aumentare la frequenza di campionamento.

Questo fenomeno viene chiamato aliasing e coinvolge tutto il range delle frequenze.

Teorema del campionamento

Teorema del campionamento (o condizione di Nyquist): per non avere aliasing, le repliche devono essere distanziate di almeno 2 volte $f_\text{max}$ ($f_c \geq 2 f_\text{max}$).

Avvicinandosi al limite $f_c = 2 f_\text{max}$ si rischia comunque di cadere in casi dove non è possibile ricostruire il segnale. Considerando il funzionamento di un filtro passa basso reale che taglia le frequenze in maniera graduale, è consigliato anche aggiungere una costante, detta banda di guardia ($\varepsilon$) e quindi si ottiene:

$$f_c \geq 2 f_\text{max} + \varepsilon$$

Campionamento di segnali limitati

Per applicare il criterio di Nyquist a segnali limitati si prende solo la banda significativa del segnale (ad esempio quella corrispondente al 90% dell’energia).

Ricostruzione ideale del segnale campionato

Il filtro di ricostruzione sarà $H_\text{LPF}(f) = T_c \fRectangle{\frac{f}{f_c}} \iff h_\text{LPF}(t) = \fSinc{\frac{t}{T_c}}$.

Quindi il segnale ricostruito sarà:

$$x(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty} x(n T_c)\ \fSinc{\frac{t - n T_c}{T_c}}$$

Il picco di una singola $\fSinc{t}$ dà il valore del segnale nel punto di campionamento. Negli altri punti invece essa viene annullata dalle $\fSinc{t}$ degli istanti precedente e successivo.

Campionamento reale

Campionare un segnale con impulsi è impossibile, perchè essi sono fisicamente irrealizzabili. La soluzione che si adotta tipicamente è il Sample&Hold, ovvero si prende il segnale nell’istante di campionamento e lo si trattiene per un periodo di tempo pari a quello di campionamento.

Quindi si ottiene un rettangolo con ampiezza pari al valore del segnale all’inizio del periodo e durata è pari a $T_c$.

Per modellare matematicamente si può immaginare una cascata tra un campionatore ideale e un filtro $H$ di trattenimento. Quindi il segnale campionato reale sarà:

$$x_{SH}(t) = x_c(t) * h_H(t)$$

dove $h_H(t)$ è una funzione rettangolare. La $H_H(f)$ sarà una $\fSinc{f}$, quindi si introduce per forza una distorsione lineare che si può correggere con un altro filtro equalizzatore.