Lezione (2025-11-05)

Filtraggio di segnali

Un filtro è un qualsiasi sistema che elabora il segnale, restituendone una versione modificata secondo qualche criterio arbitrario.

Cosa può fare un filtro:

può amplificare o attenuare le frequenze già presenti nel segnale originale;
non può creare nuove frequenze o contenuti non presenti nel segnale;

In particolare, si definiscono 5 tipologie di filtri, in base al range di frequenze su cui operano:

passa-tutto: fa passare tutte le frequenze inalterate;
passa-basso: fa passare inalterate solo le basse frequenze;
passa-alto: fa passare inalterate solo le alte frequenze;
passa-banda: fa passare inalterate solo certe frequenze intermedie;
elimina-banda: elimina una data gamma di frequenze;

Risposta di un filtro ideale

Il filtro ideale lasca passare inalterate alcune frequenze e ne taglia completamente le altre.

Si può scrivere come la funzione di trasferimento:

H(f) = \begin{cases} f_1 < f < f_2 \implies k e^{- j 2 \pi f t_d} \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}

Come si può notare, è possibile applicare 2 tipi di modifica in frequenza: un guadagno costante in ampiezza $k$ e un ritardo costante $t_d$ . Inoltre non è possibile creare nuove frequenze o contenuti non presenti nel segnale di partenza.

Nel dominio delle frequenze, la fase varia linearmente con pendenza proporzionale a $t_d$ .

Chiamiamo $f_1$ la frequenza di taglio inferiore e $f_2$ la frequenza di taglio superiore.

Esaminiamo ora il comportamento dei diversi filtri lasciando inalterata l’ ampiezza.

Filtro passa-tutto ideale (APF)

È il caso in cui $f_1 = 0$ e $f_2 = \infty$ , quindi passano tutte le frequenze.

H(f) = 1

Y(f) = X(f) H(f) = X(f)

y(t) = x(t) * \fDelta{t} = x(t)

Filtro passa-basso ideale (LPF)

È il caso in cui $f_1 = 0$ e $f_2 < \infty$ , quindi passano tutte le frequenze $|f| < f_2$ .

H(f) = \fRectangle{\frac{f}{2 f_2}}

Y(f) = X(f) H(f) = \begin{cases} |f| < f_2 \implies X(f) \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}

y(t) = 2 f_2 x(t) * \fSinc{2 t f_2}

Il filtro passa-basso funziona come un integratore, taglia le frequenze alte ed esalta quelle basse, rendendo il segnale più dolce. Di solito si usa per rimuovere componenti di rumore dal segnale.

Filtro passa-alto ideale (HPF)

È il caso in cui $f_1 > 0$ e $f_2 = \infty$ , quindi passano tutte le frequenze $|f| > f_1$ .

H(f) = 1 - \fRectangle{\frac{f}{2 f_1}}

Y(f) = X(f) H(f) = \begin{cases} |f| > f_1 \implies X(f) \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}

y(t) = x(t) - 2 f_1 x(t) * \fSinc{2 t f_1}

Il filtro passa-alto si comporta come un derivatore, cioè mette in risalto le variazioni all’interno del segnale. Un esempio di utilizzo è il rilevamento dei bordi nelle immagini.

Filtro passa-banda ideale (BPF)

È il caso in cui $f_1 > 0$ e $f_2 < \infty$ , quindi passano tutte le frequenze $f_1 < |f| < f_2$ .

H(f) = \fRectangle{\frac{f}{2 f_2}} - \fRectangle{\frac{f}{2 f_1}}

Y(f) = X(f) H(f) = \begin{cases} f_1 < |f| < f_2 \implies X(f) \\ \text{altrove} \implies 0 \end{cases}

y(t) = 2 x(t) * (f_2 \fSinc{2 t f_2} - f_1 \fSinc{2 t f_1})