Lunghezza curve e integrali curvilinei

Lunghezza di una curva

Sia $\gamma: [a, b] \to \R^n$ una curva e sia $D = \Set{a = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = b}$ una suddivisione di $[a, b]$. Di conseguenza anche il sostegno di $\gamma$ è suddiviso in $N + 1$ punti definiti da $\gamma(t_0), \ldots, \gamma(t_N)$.

Consideriamo i segmenti $[\gamma(t_{i - 1}), \gamma(t_i)]$. La lunghezza dell’unione $\cup_{i = 1}^N [\gamma(t_{i - 1}), \gamma(t_i)]$ è data da:

$$L(\gamma, D) = \sum_{i = 1}^N ||\gamma(t_{i - 1}) - \gamma(t_i)||$$

Ora denotiamo:

$$L(\gamma) = \sup_D L(\gamma, D)$$

Se $L(\gamma) < \infty$, allora la curva si dice rettificabile e $L(\gamma)$ è detta lunghezza di $\gamma$.

Note

Si può provare che esistono curve (frattali) che hanno lunghezza infinita anche se l’intervallo di partenza è limitato.

Teorema della lunghezza di una curva

Sia $\gamma: [a, b] \to \R^n$ una curva di classe $C^1$. Allora $\gamma$ è rettificabile e:

$$L(\gamma) = \int_a^b ||\gamma'(t)||\ dt = \int_a^b \sqrt{\gamma'_1(t)^2 + \ldots + \gamma'_n(t)^2}\ dt$$

Lunghezza di curve piane cartesiane

Sia $\gamma: [a, b] \to \R^2$ una curva piana cartesiana di classe $C^1$, ovvero:

$$\gamma(t) = (t, f(t)) \lor \gamma(t) = (f(t), t), \text{ con } f \in C^1([a, b])$$

Allora $\gamma$ è rettificabile e:

$$L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2}\ dt$$

Indipendenza della lunghezza dalla parametrizzazione

Siano $\gamma: [a, b] \to \R^n$ e $\tilde{\gamma}: [\alpha, \beta] \to \R^n$ curve di classe $C^1$ equivalenti. Allora:

$$L(\gamma) = L(\tilde{\gamma})$$

Lunghezza di una curva $C^1$ a tratti

La lunghezza di una curva $C^1$ a tratti è data dalla somma delle lunghezze dei vari segmenti che la compongono.

Integrali curvilinei di I specie

Sia $\gamma: [a, b] \to \R^n$ una curva di classe $C^1$ e sia $f: \gamma([a, b]) \to \R$ una funzione continua. Si definisce l’integrale curvilineo di I specie di $f$ su $\gamma$ come:

$$\int_\gamma f\ ds = \int_a^b f(\gamma(t))\ ||\gamma'(t)||\ dt$$

Se $\gamma$ è una curva chiusa e semplice, allora si usa anche il simbolo:

$$\oint_{\gamma} f\ ds$$

• L’integrale curvilineo di I specie è lineare: $\int_\gamma (\alpha\ f + \beta\ g)\ ds = \alpha \int_\gamma f\ ds + \beta \int_\gamma g\ ds$
• L’integrale curvilineo di I specie si estende a curve $C^1$ a tratti. $\int_\gamma f\ ds = \sum_{i = 1}^N \int_{\gamma_{\mid [t_{i - 1}, t_i]}} f\ ds$
• Il valore dell’integrale curvilineo non dipende dalla parametrizzazione della curva.

Campi vettoriali

Si chiama campo vettoriale su un insieme $E \subseteq \R^n$ una mappa $F: E \to \R^n$, dove $F(\mathbf{x}) = (F_1(\mathbf{x}), \ldots, F_n(\mathbf{x}))$.

In fisica, un campo vettoriale può rappresentare una forza applicata ad un punto $\mathbf{x} \in E$.

Forma differenziale

Dato un campo vettoriale $F: E \subseteq \R^n \to \R^n$, si chiama forma differenziale (lineare) su $E$ l’espressione formale:

$$\omega = F_1\ dx_1 + \ldots + F_n\ dx_n = \sum_{i = 1}^n F_i\ dx_i$$

che si scrive anche come il prodotto scalare:

$$\omega = F \cdot d\mathbf{x}$$

Dalla definizione si evince che ad ogni campo vettoriale corrisponde biunivocamente una forma differenziale.

Una forma differenziale $\omega = \sum_{i = 1}^n F_i\ dx_i$ su un insieme $E \subseteq \R^n$ è detta di classe $C^0$ se $\forall\ i \in \Set{1,\ldots,n},\ F_i \in C^0(E)$

Lavoro compiuto da una forza lungo un percorso

Sia $F: \R^3 \to \R^3$ una forza $F(x, y, z) = (F_1(x, y, z), F_2(x, y, z), F_3(x, y, z))$, $F \in C^0(\R^3)$.

Il percorso è dato da $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \gamma_3(t))$, una curva di classe $C^1$.

La forma differenziale $\omega = F \cdot d\mathbf{x}$ rappresenta il lavoro compiuto dalla forza $F$ su un punto materiale che si muove di uno spostamento infinitesimo $(dx,dy,dz) = (\gamma'_1(t)\ dt, \gamma'_2(t)\ dt, \gamma'_3(t)\ dt)$ lungo la curva $\gamma$.

Il lavoro compiuto dalla forza nell’intervallo di tempo infinitesimo $dt$ è dato da:

$$(F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t))\ dt$$

Integrali curvilinei di II specie

Sia $\gamma: [a,b] \to E \subseteq \R^n$ una curva di classe $C^1$ e sia $\omega = F \cdot d\mathbf{x}$ una forma differenziale di classe $C^0$ su $E$.

Si definisce integrale curvilineo di II specie di $\omega$ lungo $\gamma$ il valore:

$$\int_\gamma \omega = \int_a^b F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)\ dt = \int_a^b \sum_{i = 1}^n F_i(\gamma(t))\ \gamma'_i(t)\ dt$$

Se $\gamma$ è chiusa, si scrive anche:

$$\oint_\gamma \omega$$

• L’integrale curvilineo di II specie è lineare.
• L’integrale curvilineo di II specie si estende anche a curve $C^1$ a tratti.