Additività e cambio variabili integrali doppi

Additività dell’integrale doppio

Siano $A_1, \ldots, A_n$ insiemi semplici tali che $A_i \cap A_j \subseteq \partial A_i \cap \partial A_j$ con $i \neq j$ (due insiemi si intersecano solo sulla loro frontiera).

Sia $f: A_1 \cup \ldots \cup A_n \to \R$ e supponiamo che $\forall\ i,\ f \in R(A_i)$. Allora $f$ è integrabile su $A_1 \cup \ldots \cup A_n$ e:

$$\iint_{A_1 \cup \ldots \cup A_n} f = \sum_{i = 1}^n \iint_{A_i} f$$

Cambiamento di variabili per integrali doppi

Siano $A, A' \subseteq \R^2$ aperti, limitati e misurabili e sia $\psi: A' \to A$, $\psi(u, v) = (\psi_1(u,v), \psi_2(u,v))$, con $\psi_1, \psi_2: A' \to \R$.

La trasformazione $\psi$ è definita come cambiamento di variabili se:

• $\psi$ è biettiva;
• $\psi_i \in C^1(A')$, e le funzioni $\psi_i, \frac{\partial \psi_i}{\partial u}, \frac{\partial \psi_i}{\partial v}$ sono limitate in $A'$;
• $\forall\ (u,v) \in A',\ \det(D_\psi(u,v)) \neq 0$, dove $D_\psi(u,v)$ è la matrice jacobiana di $\psi$.

Denotiamo $dA' = du\ dv$ e $dA = dx\ dy$. Allora vale il seguente teorema:

$$\iint_A f(x,y)\ dx\ dy = \iint_{A'} f(\psi(u,v))\ |det(D_\psi(u,v))|\ du\ dv$$