Lezione (2025-10-08)

Serie di Fourier

La serie può essere applicata solo su segnali periodici e solo se il segnale è integrabile sul periodo e quell’integrale ha valore finito. I segnali reali usati in questo corso verificano questa condizione.

Le frequenze delle sinusoidi non sono arbitrarie, si ricavano dalla frequenza fondamentale. L’unica cosa che bisogna calcolare sono i valori dei coefficienti $a_k$ e $\vartheta_k$.

Forma esponenziale della serie di Fourier

La serie di Fourier si può riscrivere sfruttando la formula di Eulero:

$$x(t) = a_0 + \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{a_k}{2}\ e^{j \vartheta_k}\ e^{j 2 \pi k f_0 t} + \sum_{k = -\infty}^{-1} \frac{a_{-k}}{2}\ e^{-j \vartheta_{-k}}\ e^{j 2 \pi k f_0 t}$$

e in forma più compatta:

$$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} X_k\ e^{j 2 \pi k f_0 t}$$ $$X_k = \begin{cases} k > 0 \implies \frac{a_k}{2} e^{j \vartheta_k} \\[5pt] k < 0 \implies \frac{a_{-k}}{2} e^{-j \vartheta_{-k}} \\[5pt] k = 0 \implies a_0 \end{cases}$$

Calcolo dei coefficienti

Il coefficiente $n$-esimo della serie è dato dalla seguente espressione:

$$X_k = f_0 \int_{- \frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x(t)\ e^{j 2 \pi k f_0 t}\ dt$$

La formula equivale alla cross-correlazione tra il segnale $x(t)$ e la sinusoide $e^{j 2 \pi k f_0 t}$ sul periodo $T_0$ (entrambi i segnali sono periodici e quindi di potenza). Con $k = 0$ otteniamo il valor medio di $x(t)$.

Il coefficiente $X_k$ ci dice quanto l’armonica $k$-esima è presente nel segnale $x(t)$. Se $x(t)$ non contiene quella frequenza, il esso sarà nullo, altrimenti fornirà modulo e fase della corrispondente armonica.

La conoscenza dei coefficienti è sufficiente per ricostruire il segnale in maniera perfetta. Per questo possiamo usarla come una rappresentazione alternativa: $x(t) \leftrightarrow X_n$.

Frequenze negative

Eseguendo i calcoli, talvolta appaiono delle frequenze negative. In fisica non esistono, sono solo anomalie necessarie per la correttezza dei calcoli matematici.

Proprietà della serie

• Simmetria Hermitiana: $X_k = \overline{X_{-k}}$

  Calcolando solo i coefficienti della parte positiva dello spettro, ottengo anche quella negativa per simmetria (simmetria Hermitiana).

• Linearità: dati 2 segnali $x(t)$ e $y(t)$ periodici, avremo:

  $$z(t) = a\ x(t) + b\ y(t) \implies Z_n = a\ X_n + b\ Y_n$$

• Dato un segnale periodico pari, i coefficienti saranno reali, per cui la serie sarà costituita solamente da coefficienti con parte immaginaria nulla.

  $$X_k = 2\ f_0 \int_0^{\frac{T_0}{2}} x(t)\ \fCos{2 \pi k f_0 t}\ dt$$ $$x(t) = a_0 + \sum_{k = 1}^{+\infty} a_k \fCos{2 \pi k f_0 t}$$

• Dato un segnale periodico dispari, i coefficienti saranno immaginari, per cui la serie sarà costituita solamente da seni.

  $$X_k = -2\ j\ f_0 \int_0^{\frac{T_0}{2}} x(t)\ \fSin{2 \pi k f_0 t}\ dt$$ $$x(t) = \sum_{k = 1}^{+\infty} a_k \fSin{2 \pi k f_0 t}$$

  Note

  Il coefficiente $a_0$ sarà nullo perché il valore medio di un segnale dispari è $0$.

Segnale alternato

Si dice segnale alternato un segnale periodico di periodo $T$ e antisimmetrico sul periodo, ovvero:

$$x(t) = - x\left(t + \frac{T}{2}\right)$$

• I segnali alternati non sono necessariamente dispari, ma hanno valor medio nullo.
• La serie di Fourier di un segnale alternato ha solo i coefficienti dispari.

Spettro di un segnale

La rappresentazione dei coefficienti nel dominio delle frequenze armoniche viene detta spettro.

Ce ne sono di 2 tipi:

• spettro di ampiezza: mostra quanto è ampia l’armonica ad una certa frequenza;

  

• spettro di fase: mostra quanto è sfasata l’armonica ad una certa frequenza;

  

Considerazioni generali

• I segnali che presentano variazioni più brusche (tipo le onde quadrate) hanno rappresentazioni spettrali più ampie (le frequenze distanti da $f_0$ contribuiscono di più).
• Segnali con periodi minori implicano frequenze più alte.
• Se sono presenti discontinuità nel segnale, lo spettro contiene infinite armoniche (il cui valore tende a 0, quindi nella realtà si possono ignorare).

Note

Nelle telecomunicazioni, l’estensione dello spettro prende il nome di banda.

• I segnali a banda larga hanno un contenuto significativo a frequenze più alte.
• Quelli a banda stretta contengono frequenze più limitate.

Fenomeno di Gibbs

Per rappresentare qualsiasi tipo di segnale sul dominio delle frequenze, servirebbe un’ampiezza di banda infinita. Cosa succede quando si tronca una serie di Fourier è stato studiato dal fisico statunitense Josiah Willard Gibbs.

Si osserva che il segnale oscilla intorno ai punti di discontinuità (ripple) e presenta sovra-elongazioni di ampiezza (overshoot). All’aumentare delle armoniche i picchi si riducono e si avvicinano al punto di transizione.