Risposta di circuiti RC a gradino e impulso

Interruttori dal punto di vista matematico

┌──/ ──┐
│+     │
V_s    R_1
│-     │
└──────┘

Se chiudo l’interruttore all’istante $t_0$, il circuito avrà questo comportamento:

$$V_{R_1}(t) = \begin{cases} t < t_0 \implies 0 \\ t \geq t_0 \implies V_s \end{cases}$$

Se tracciamo il grafico sul piano cartesiano, otteniamo la forma di una funzione gradino $\theta(t - t_0)$.

Di conseguenza, $V_{R_1}(t) = V_s\ \theta(t - t_0)$.

Circuito RC in parallelo con gradino

Prendiamo un generatore di corrente $I_s$ che, a circuito chiuso, eroga una corrente costante $I_0$.

L’interruttore viene chiuso all’istante $t_0$.

┌─/ ─┬────┐
I_s  R_1  C_1
└────┴────┘

Costruiamo il sistema:

$$\begin{cases} V_{R_1}(t) = V_{C_1}(t) = V(t) \\ I_s(t) = I_{R_1}(t) + I_{C_1}(t) \\ V_{R_1}(t) = I_{R_1}(t)\,R_1 \\ I_{C_1}(t) = C_1\ \frac{dV_{C_1}}{dt}(t) \\ I_s(t) = I_0\ \theta(t - t_0) \\ V(t_0) = 0 \end{cases}$$

Otteniamo ancora una volta un problema di Cauchy:

$$\begin{cases} I_s(t) = \frac{V(t)}{R_1} + C_1\ \frac{dV}{dt}(t) \\ I_s(t) = I_0\ \theta(t - t_0) \\ V(t_0) = 0 \end{cases}$$

Ora possiamo studiare due casi:

• A circuito aperto e scarico non succede niente.

  $$\begin{cases} t < t_0 \\ \frac{V(t)}{R_1} + C_1\ \frac{dV}{dt}(t) = 0 \\ V(t_0) = 0 \end{cases}$$

• Quando l’interruttore viene chiuso, otteniamo un’equazione differenziale a variabili separabili.

  $$\begin{cases} t \geq t_0 \\ \frac{V(t)}{R_1} + C_1\ \frac{dV}{dt}(t) = I_0 \\ V(t_0) = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} t \geq t_0 \\ \int_{V(t_0)}^{V(t)} \frac{dV(t)}{V(t) - I_0\ R_1} = - \int_{t_0}^t \frac{dt}{\tau} \iff \left[\ln\left(V(t) - I_0\ R_1\right)\right]_{V(t_0)}^{V(t)} = -\frac{t - t_0}{\tau} \\ \tau = R_1\ C_1 \\ V(t_0) = 0 \end{cases}$$ $$\ln\left(V(t) - I_0\ R_1\right) - \ln\left(I_0\ R_1\right) = -\frac{t - t_0}{\tau} \iff V(t) = I_0\ R_1\left(1 - e^{-\frac{t - t_0}{\tau}}\right)$$

Otteniamo così la funzione completa, che tiene conto dello scalino:

$$V(t) = I_0\ \theta(t - t_0)\ R_1\ \left(1 - e^{-\frac{t - t_0}{\tau}}\right)$$

Risposta di un circuito ad un gradino

Presa una funzione gradino, avremo sempre una risposta specifica per un circuito, che chiameremo $g(t)$. Nel caso trattato sopra, l’ingresso è $I_0\ \theta(t - t_0)$ e la risposta sarà $I_0\,g(t - t_0)$.

Chiameremo $Z_0$ la risposta in condizioni di stato zero di un generico circuito a un generico ingresso. Riprendendo la definizione precedente, $g(t) = Z_0(\theta(t))$.

Operatore traslazione

Introduciamo un operatore lineare che trasla una funzione di un certo $\Delta t$:

$$\mathcal{T}_{\Delta t}[f(t)] = f(t - \Delta t)$$

Poiché entrambi gli operatori sono lineari, non c’è differenza nell’ordine di composizione tra $Z_0$ e $\mathcal{T}$.

Risposta di un circuito ad un impulso

Possiamo descrivere il grafico di un impulso come un rettangolo di base $d$ e altezza $\frac{1}{d}$:

$$\begin{cases} t < 0 &\implies 0 \\ 0 \leq t \leq d &\implies \frac{1}{d} \\ t > d &\implies 0 \end{cases}$$

Otteniamo la delta di Dirac $\delta(t)$ quando $d$ tende a zero. Più in generale, data una funzione di test $f$, la delta di Dirac è definita dalla proprietà:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\ f(t)\ dt = f(0) \implies \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\ dt = 1$$

Circuito RC in parallelo con impulso

Riprendiamo l’esempio del circuito visto in precedenza. Questa volta l’interruttore rimarrà chiuso per un intervallo di tempo $d = t_1 - t_0$. La corrente del generatore avrà valore $\frac{1}{t_1 - t_0}$.

Si distinguono tre fasi:

• Per $t < t_0$ il sistema resta invariato (circuito aperto e scarico).

• Per $t_0 \leq t \leq t_1$ otteniamo:

  $$V(t) = R_1\ \frac{1}{d}\left(1 - e^{-\frac{t - t_0}{\tau}}\right)$$

• Per $t > t_1$, la risposta è data dalla scarica del circuito a partire dal valore di tensione raggiunto durante l’impulso:

  $$\begin{cases} C_1\ \frac{dV}{dt}(t) + \frac{V(t)}{R_1} = 0 \\ V(t_1) = R_1\ \frac{1}{d} \left(1 - e^{-\frac{d}{\tau}}\right) \end{cases} \implies V(t) = V(t_1)\ e^{-\frac{t - t_1}{\tau}}$$

Per studiare la risposta alla delta di Dirac, dobbiamo far tendere $d$ a zero:

$$\begin{array}{ll} V(t) &= \lim_{d \to 0} V(t_1)\ e^{-\frac{t - t_1}{\tau}} \\ &= \lim_{d \to 0} \frac{R_1}{d}\left(1 - e^{-\frac{d}{\tau}}\right) e^{-\frac{t - t_0 - d}{\tau}} \\ &= R_1\ e^{-\frac{t - t_0}{\tau}} \lim_{d \to 0} \frac{1 - e^{-\frac{d}{\tau}}}{d} \\ &= R_1\ e^{-\frac{t - t_0}{\tau}} \frac{1}{\tau} \\ &= \frac{1}{C_1}\ e^{-\frac{t - t_0}{\tau}} \end{array}$$