Teorema del differenziale totale e classe C1

Teorema del differenziale totale

Data una funzione $f$ di più variabili per cui esiste $\nabla f(\mathbf{p}_0)$, quale proprietà aggiuntiva è necessaria per garantire la differenziabilità di $f$ in $\mathbf{p}_0$?

Nel caso in cui $\nabla f$ esista, ma le derivate parziali non siano continue, non si possono trarre conclusioni sulla differenziabilità della funzione, rendendo necessario ricorrere alla definizione basata sul piano tangente.

Note

Una funzione si dice di classe $C^n(A)$ se è derivabile $n$ volte su $A$ e la sua $n$-esima derivata è continua su $A$.

Se $f \in C^1(A)$, allora $f$ è differenziabile in ogni punto di $A$.

Derivate direzionali

Le derivate parziali costituiscono un caso particolare delle derivate direzionali, dato che il calcolo è semplice poiché varia solo la coordinata lungo l’asse di interesse.

Una derivata direzionale è la derivata della funzione lungo una direzione arbitraria data da un vettore $\mathbf{v}$.

$f$ è direzionalmente derivabile nella direzione $\mathbf{v}$ nel punto $\mathbf{p}_0$ se:

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}(\mathbf{p}_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{p}_0 + h\ \mathbf{v}) - f(\mathbf{p}_0)}{h} \in \R$$

Rapporto tra differenziabilità e derivabilità direzionale

Supponendo che $f$ sia differenziabile in $\mathbf{p}_0$, allora, per ogni direzione $\mathbf{v} \in \R^n$:

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}(\mathbf{p}_0) = \nabla f(\mathbf{p}_0) \cdot \mathbf{v} = df(\mathbf{p}_0) \cdot \mathbf{v}$$