Funzioni multivariabili e curve di livello

Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali

Nel corso si studieranno funzioni della forma:

$$f: A \subseteq \R^n \to \R^k \text{ con } n \geq 2, k \geq 1$$

Se $k = 1$, la funzione è definita funzione scalare di più variabili. Se $k \geq 2$, è definita funzione vettoriale di più variabili.

In particolare studieremo i casi in cui $n = 2,3$ e $k = 1$.

Grafico di una funzione scalare di più variabili

Per una funzione scalare di una variabile $f: A \subseteq \R \to \R$:

$$G_f = \Set{(x, f(x)) \mid x \in A} \subset \R^2$$

Se $f: A \subseteq \R^2 \to \R$:

$$G_f = \Set{(x, y, f(x,y)) \mid (x,y) \in A} \subset \R^3$$

Questo concetto può essere esteso a un numero maggiore di variabili. Tuttavia, la visualizzazione di spazi di dimensione quattro o superiore diventa problematica.

Curve di livello di una funzione scalare di più variabili

Data una funzione $f: A \subseteq \R^2 \to \R$, e fissando un valore $t \in \R$, la curva di livello di $f$ associata a $t$ è definita:

$$C_t = \Set{(x, y) \in A \mid f(x,y) = t}$$

Tip

In termini pratici, le curve di livello di una funzione a due variabili sono analoghe a quelle presenti sulle mappe topografiche per rappresentare l’altitudine.