Integrale di convoluzione e analisi fasoriale

Risposta a stato 0 di ingressi arbitrari

Finora abbiamo visto il comportamento di un circuito dati i seguenti ingressi:

• funzione gradino: $g(t) = Z_0[\theta(t)]$;
• funzione impulso: $h(t) = Z_0[\delta(t)]$;

Preso un ingresso arbitrario, posso suddividerlo in $n$ intervalli di ampiezza $d$, con estremi $t_0, \ldots, t_n$ e altezza $x(t_i)$.

L’ingresso viene approssimato con una somma di impulsi allargati di area $x(t_i)\ d$:

$$x_{\text{approssimato}}(t) = \sum_{i = 0}^n x(t_i)\ d\ P_d(t - t_i)$$

e l’uscita sarà data dalla somma delle risposte ad ogni impulso (sfrutto la linearità di $Z_0$):

$$y_{\text{approssimato}}(t) = Z_0[x_{\text{approssimato}}(t)] = \sum_{i=0}^n x(t_i)\ d\ Z_0[P_d(t - t_i)]$$

Per $d \to 0$, l’approssimazione migliora sempre di più e ottengo l’integrale di convoluzione tra la risposta all’impulso e l’ingresso:

$$y(t) = Z_0[x(t)] = \int_0^t x(\tau) h(t - \tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau = x(t) * h(t)$$

Note

L’integrale di convoluzione non è sempre risolvibile, bisognerà trovare qualche modo per esprimere l’ingresso in modo da poter applicare convoluzioni notevoli.

Riscrivere l’ingresso come una serie di sinusoidali ci permette di applicare tutte le proprietà delle trasformate di Fourier.

Fasore

Per definire completamente una sinusoidale (o cosinusoidale) devo definire 3 parametri:

$$x(t) = r\ \cos(\omega\ t + \theta)$$

• $r$: ampiezza;
• $\omega = 2\pi f$: pulsazione (dove $f$ è la frequenza);
• $\theta$: fase;

Il fasore $\tilde{x}$ di una sinusoidale $x(t)$ è un numero complesso che non dipende dal tempo o dalla frequenza:

$$x(t) = r \cos(\omega\ t + \theta) \implies \tilde{x} = r\ e^{j \theta}$$

$x(t)$ corrisponde alla parte reale del numero complesso $\tilde{x}\ e^{j \omega t} = r\ e^{j\ (\omega t + \theta)}$

Note

Quando si usano i fasori si assume che tutte le sinusoidali abbiano la stessa frequenza.

A $t = 0$ i vettori (numeri complessi) del fasore e della sinusoide coincidono. Poi il termine $\omega\ t$ fa ruotare il vettore del fasore in senso antiorario. Il grafico della componente reale di questo vettore che sta ruotando è quello della sinusoide.

Proprietà del fasore

• unicità: fissato un $\omega$, un fasore caratterizza unicamente una certa sinusoide;
• linearità: i numeri complessi sono lineari;
• derivazione: il fasore associato alla derivata della sinusoide $x(t)$ è $j \omega \tilde{x}$.

Soluzione generale di una rete con ingresso sinusoidale

Prendiamo 3 sinusoidali con i relativi fasori:

• $x_1(t) = r_1\ \fCos{\omega t + \theta_1} \implies \tilde{x}_1 = r_1\ e^{j \theta_1}$
• $x_2(t) = r_2\ \fCos{\omega t + \theta_2} \implies \tilde{x}_2 = r_2\ e^{j \theta_2}$
• $x_3(t) = r_3\ \fCos{\omega t + \theta_3} \implies \tilde{x}_3 = r_3\ e^{j \theta_3}$

Definiamo una nuova funzione sinusoidale $m(t)$:

$$\newcommand{\ejwt}{e^{j \omega t}} \begin{array}{ll} m(t) &= x_1(t) + \dv{x_2}{t}(t) + \dvn{2}{x_3}{t}(t) \\[7pt] &= \Re{\tilde{x}_1 \ejwt}(t) + \dv{\Re{\tilde{x}_2 \ejwt}}{t}(t) + \dvn{2}{\Re{\tilde{x}_3 \ejwt}}{t}(t) \\[7pt] &= \Re{\tilde{x}_1 \ejwt}(t) + \Re{\dv{\tilde{x}_2 \ejwt}{t}}(t) + \Re{\dvn{2}{\tilde{x}_3 \ejwt}{t}}(t) \\[10pt] &= \Re{\tilde{x}_1 \ejwt}(t) + \Re{j \omega \tilde{x}_2 \ejwt}(t) + \Re{-\omega^2 \tilde{x}_3 \ejwt}(t) \\[3pt] &= \Re{\tilde{x}_1 \ejwt + j \omega \tilde{x}_2 \ejwt - \omega^2 \tilde{x}_3 \ejwt}(t) \\[3pt] &= \Re{\ejwt (\tilde{x}_1 + j \omega \tilde{x}_2 - \omega^2 \tilde{x}_3)} \end{array}$$

Quindi abbiamo dimostrato che $\tilde{m} = \tilde{x}_1 + j\ \omega\ \tilde{x}_2 - \omega^2 \tilde{x}_3$.

La scorsa lezione avevamo visto che la soluzione di una rete LTI con un ingresso $x(t)$ e un’uscita $y(t)$ è sempre un’equazione differenziale, talvolta impossibile da calcolare nel dominio del tempo.

Quando l’input è del tipo $x(t) = r\ \fCos{\omega t + \theta}$, possiamo scrivere esso e le sue derivate $i$-esime come:

$$\dvn{i}{x}{t}(t) = \Re{\tilde{x} (j\omega)^i e^{j\omega t}}$$

Quindi la soluzione generale della rete diventa una formula algebrica:

$$\begin{cases} \left(\sum_{i = 0}^n a_i (j \omega)^i\right) \tilde{y} = \left(\sum_{i' = 0}^m b_{i'} (j \omega)^{i'}\right) \tilde{x} \\[10pt] \dvn{0}{y}{t}(t_0) = y(t_0) = k_0 \\ \vdots \\ \frac{d^{n - 1}y}{dt^{n - 1}}(t_0) = k_{n - 1} \end{cases}$$

Per trovare la soluzione di una rete con ingresso diverso da $0$:

1. Bisogna trovare la soluzione dell’omogenea, ovvero trovo le radici $s_i$ (distinte) del polinomio associato.

   $$y_h(t) = \sum_{i = 1}^n k_i e^{s_i t}$$

2. La soluzione particolare sarà sinusoidale (poiché l’ingresso era sinusoidale).

   $$y_p(t) = \Re{\tilde{y} e^{j \omega t}} = |\tilde{y}|\ \fCos{\omega t + \theta}$$

3. La soluzione generale è $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$. Le costanti $k_i$ vanno determinate attraverso le condizioni iniziali.