Circuiti rlc del secondo ordine e reti lti

Circuiti RLC di 2° ordine a stato 0

Prendiamo un circuito dove a $t_0$ viene acceso un generatore di corrente $I_s$:

┌────┬────┬────┐
I_s  C_1  L_1  R_1
└────┴────┴────┘

Costruiamo il solito sistema:

$$\begin{cases} V(t) = V_{C_1}(t) = V_{L_1}(t) = V_{R_1}(t) \\ I_s(t) = I_{C_1}(t) + I_{L_1}(t) + I_{R_1}(t) \\ V_{R_1}(t) = I_{R_1}(t)\ R_1 \\[3pt] I_{C_1}(t) = C_1 \dv{V_{C_1}}{t}(t) \\[3pt] V_{L_1}(t) = L_1 \dv{I_{L_1}}{t}(t) \\ I_{L_1}(t_0) = 0 \\ V_{C_1}(t_0) = 0 \end{cases}$$

Otteniamo una equazione differenziale simile a quella vista nelle lezioni precedenti:

$$\begin{cases} I_s(t) = L_1\ C_1\ \dvn{2}{I_{L_1}}{t}(t) + \frac{L_1}{R_1} \dv{I_{L_1}}{t}(t) + I_{L_1}(t) \\ I_{L_1}(t_0) = 0 \\[3pt] \dv{I_{L_1}}{t}(t_0) = 0 \end{cases}$$

L’analisi ci dice che la soluzione di un’equazione differenziale non omogenea è uguale alla soluzione dell’equazione omogenea corrispondente più una soluzione particolare:

$$I_{L_1}(t) = I_{L_1}(t)^H + I_{L_1}(t)^P$$

Caso particolare: $I_s(t) = \theta(t)$

Per $t > t_0$:

$$\begin{cases} L_1\ C_1\ \dvn{2}{I_{L_1}}{t}(t) + \frac{L_1}{R_1} \dv{I_{L_1}}{t}(t) + I_{L_1}(t) = 1 \\ I_{L_1}(t_0) = 0 \\[3pt] \dv{I_{L_1}}{t}(t_0) = 0 \end{cases}$$

Riprendiamo l’equazione omogenea vista nell’ultima lezione. In tre casi su quattro (escludendo il caso criticamente smorzato, che ha un’espressione leggermente diversa), la soluzione si può scrivere come:

$$I_{L_1}(t) = k_1 e^{x_1\ t} + k_2 e^{x_2\ t}$$

Quindi la soluzione della nostra equazione non omogenea sarà:

$$\begin{cases} I_{L_1}(t) = (k_1 e^{x_1\ t} + k_2 e^{x_2\ t} + 1)\ \theta(t) \\ I_{L_1}(t_0) = 0 \\[3pt] \dv{I_{L_1}}{t}(t_0) = 0 \end{cases}$$

Per trovare $k_1$ e $k_2$ basta sfruttare le uguaglianze fornite dal problema di Cauchy.

Per $x_1, x_2 \in \R$ l’andamento della corrente sarà:

Per $x_1, x_2 \in \C$ l’andamento della corrente sarà:

Soluzione generale di una rete LTI

Data una rete LTI con un ingresso $x(t)$ e un’uscita $y(t)$, sarà sempre possibile scrivere un’equazione differenziale di grado $n$ che mette in relazione le due grandezze. Essa sarà del tipo:

$$\begin{cases} \sum_{i = 0}^n a_i \dvn{i}{y}{t}(t) = \sum_{i' = 0}^m b_{i'} \dvn{i'}{x}{t}(t) \\[10pt] \dvn{0}{y}{t}(t_0) = y(t_0) = k_0 \\ \vdots \\ \dvn{n - 1}{y}{t}(t_0) = k_{n - 1} \\ \end{cases}$$