Funzioni multivariabili e curve di livello

Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali

Nel corso si studieranno funzioni della forma:

$$𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}\to {ℝ}^{𝑘}\text{con}𝑛\ge 2,𝑘\ge 1$$

Se $𝑘=1$, la funzione è definita funzione scalare di più variabili. Se $𝑘\ge 2$, è definita funzione vettoriale di più variabili.

In particolare studieremo i casi in cui $𝑛=2,3$ e $𝑘=1$.

Grafico di una funzione scalare di più variabili

Per una funzione scalare di una variabile $𝑓:𝐴\subseteq ℝ\to ℝ$:

$${𝐺}_{𝑓}=\left\{\left(𝑥,𝑓\left(𝑥\right)\right)|𝑥\in 𝐴\right\}\subset {ℝ}^2$$

Se $𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$:

$${𝐺}_{𝑓}=\left\{\left(𝑥,𝑦,𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\right)|\left(𝑥,𝑦\right)\in 𝐴\right\}\subset {ℝ}^3$$

Questo concetto può essere esteso a un numero maggiore di variabili. Tuttavia, la visualizzazione di spazi di dimensione quattro o superiore diventa problematica.

Curve di livello di una funzione scalare di più variabili

Data una funzione $𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$, e fissando un valore $𝑡\in ℝ$, la curva di livello di $𝑓$ associata a $𝑡$ è definita:

$${𝐶}_{𝑡}=\left\{\left(𝑥,𝑦\right)\in 𝐴|𝑓\left(𝑥,𝑦\right)=𝑡\right\}$$

Tip

In termini pratici, le curve di livello di una funzione a due variabili sono analoghe a quelle presenti sulle mappe topografiche per rappresentare l’altitudine.