Piano tangente e differenziale multivariabile

Piano tangente al grafico di una funzione a 2 variabili

Il piano tangente ad una funzione $𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$ nel punto $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0,𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)\right)$ è definito come il piano $𝜋\subset {ℝ}^3$ di equazione:

$$𝑧=𝑎\left(𝑥-{𝑥}_0\right)+𝑏\left(𝑦-{𝑦}_0\right)+𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$$

Caution

Il piano $𝜋$ non può essere parallelo all’asse $𝑧$.

I parametri $𝑎$ e $𝑏$ sono costanti tali che il piano $𝜋$ rappresenti una buona approssimazione locale della funzione $𝑓$ nel punto $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$.

Una funzione a due variabili si definisce differenziabile se è soddisfatta la seguente condizione:

$$\underset{\left(𝑥,𝑦\right)\to \left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)}{lim}\frac{𝑓\left(𝑥,𝑦\right)-\left(𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)+𝑎\left(𝑥-{𝑥}_0\right)+𝑏\left(𝑦-{𝑦}_0\right)\right)}{𝑑\left(\left(𝑥,𝑦\right),\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)\right)}=0$$

Se $𝑓$ è differenziabile in $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$, si dimostra che in quel punto $\nabla 𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)=\left(𝑎,𝑏\right)$.

Generalizzazione della condizione di differenziabilità

Data una funzione $𝑓:𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}\to ℝ$ e ${𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_{𝑛}$, vettori della base canonica di ${ℝ}^{𝑛}$, la derivata parziale $𝑖$-esima di $𝑓$ in ${𝒑}_0\in 𝐴$ esiste se:

$$\exists \frac{𝜕𝑓}{𝜕{𝑥}_{𝑖}}\left({𝒑}_0\right)=\underset{ℎ\to 0}{lim}\frac{𝑓\left({𝒑}_0+ℎ{𝒆}_{𝑖}\right)-𝑓\left({𝒑}_0\right)}{ℎ}\in ℝ$$

Il gradiente $\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)$ esiste se e solo se tutte le derivate parziali di $𝑓$ esistono.

Una funzione è differenziabile in ${𝒑}_0$ se e solo se:

$$\underset{𝒑\to {𝒑}_0}{lim}\frac{𝑓\left(𝒑\right)-\left(𝑓\left({𝒑}_0\right)+\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)\cdot \left(𝒑-{𝒑}_0\right)\right)}{𝑑\left(𝒑,{𝒑}_0\right)}=0$$

Differenziale

Il differenziale è un’applicazione lineare definita come:

$$d𝑓\left({𝒑}_0\right)=\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)\cdot \left(d{𝑥}_1,\dots ,d{𝑥}_{𝑛}\right)$$

Esso indica il tasso di variazione di una funzione per piccoli spostamenti a partire da ${𝒑}_0$.

Corollario

Se $𝑓$ è differenziabile in ${𝒑}_0=\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$:

• Esiste il piano tangente a $𝑓$ in $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0,𝑓\left({𝒑}_0\right)\right)$ e la sua equazione è data da: $𝑧=𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)+\nabla 𝑓\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)\cdot \left(𝑥-{𝑥}_0,𝑦-{𝑦}_0\right)$;
• La funzione $𝑓$ è continua in ${𝒑}_0$;
• Esiste il gradiente $\nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)$.