Analisi circuitale e trasformata di Laplace

Relazione tensione-corrente dei dipoli nel dominio di $𝑠$

$𝑡$	$𝑠$
${𝑉}_{𝑅\left(𝑡\right)}=𝑅{𝐼}_{𝑅\left(𝑡\right)}$	${\widetilde{𝑉}}_{𝑅\left(𝑠\right)}=𝑅{\widetilde{𝐼}}_{𝑅\left(𝑠\right)}$
${𝐼}_{𝑅\left(𝑡\right)}=\frac{{𝑉}_{𝑅\left(𝑡\right)}}{𝑅}$	${\widetilde{𝐼}}_{𝑅\left(𝑠\right)}=\frac{{\widetilde{𝑉}}_{𝑅\left(𝑠\right)}}{𝑅}$
${𝑉}_{𝐶\left(𝑡\right)}=\frac{1}{𝐶}{\int }_0^{𝑡}{𝐼}_{𝐶\left(𝑡\right)}d𝑡+{𝑉}_{𝐶\left(0\right)}$	${\widetilde{𝑉}}_{𝐶\left(𝑠\right)}=\frac{1}{𝐶}\frac{{\widetilde{𝐼}}_{𝐶\left(𝑠\right)}}{𝑠}+\frac{{𝑉}_{𝐶\left(0\right)}}{𝑠}$
${𝐼}_{𝐶\left(𝑡\right)}=𝐶\frac{d{𝑉}_{𝐶\left(𝑡\right)}}{d𝑡}$	${\widetilde{𝐼}}_{𝐶\left(𝑠\right)}=𝐶𝑠{\widetilde{𝑉}}_{𝐶\left(𝑠\right)}-𝐶{𝑉}_{𝐶\left(0\right)}$
${𝑉}_{𝐿\left(𝑡\right)}=𝐿\frac{d{𝐼}_{𝐿\left(𝑡\right)}}{d𝑡}$	${\widetilde{𝑉}}_{𝐿\left(𝑠\right)}=𝐿𝑠{\widetilde{𝐼}}_{𝐿\left(𝑠\right)}-𝐿{𝐼}_{𝐿\left(0\right)}$
${𝐼}_{𝐿\left(𝑡\right)}=\frac{1}{𝐿}{\int }_0^{𝑡}{𝑉}_{𝐿\left(𝑡\right)}d𝑡+{𝐼}_{𝐿\left(0\right)}$	${\widetilde{𝐼}}_{𝐿\left(𝑠\right)}=\frac{1}{𝐿}\frac{{\widetilde{𝑉}}_{𝐿\left(𝑠\right)}}{𝑠}+\frac{{𝐼}_{𝐿\left(0\right)}}{𝑠}$

Impedenza nel dominio $𝑠$

L’impedenza è molto simile a quella nel dominio delle frequenze quando le condizioni iniziali sono nulle:

$$𝑍=\widetilde{𝑉}\frac{𝑠}{\widetilde{𝐼}}\left(𝑠\right)$$

Quindi:

• ${𝑍}_{𝑅}=𝑅$
• ${𝑍}_{𝐶}=\frac{1}{𝑠𝐶}$
• ${𝑍}_{𝐿}=𝑠𝐿$

Equazioni differenziali nel dominio $𝑠$

La risposta di un qualsiasi sistema LTI è data da un’espressione del tipo:

$$\sum _{𝑛=0}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}\frac{d^{𝑛}𝑦\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^{𝑛}}=\sum _{𝑚=0}^{𝑀}{𝑏}_{𝑚}\frac{d^{𝑚}𝑥\left(𝑡\right)}{d{𝑡}^{𝑚}}$$

con i coefficienti ${𝑎}_{𝑛}$ e ${𝑏}_{𝑚}$ reali e con condizioni iniziali a $𝑡=0$.

Nel dominio di $𝑠$, essa diventa:

$$\begin{array}{cc}\sum _{𝑛=0}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}{𝑠}^{𝑛}\widetilde{𝑌}\left(𝑠\right)-\sum _{𝑛=0}^{𝑁}\left(\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑠}^{𝑛-𝑖}\frac{d^{𝑖-1}𝑦\left(0\right)}{d{𝑡}^{𝑖-1}}\right){𝑎}_{𝑛}& =\widetilde{𝐴}\left(𝑠\right)\widetilde{𝑌}\left(𝑠\right)+\widetilde{𝐸}\left(𝑠\right)\\ \sum _{𝑚=0}^{𝑀}{𝑏}_{𝑚}{𝑠}^{𝑚}\widetilde{𝑋}\left(𝑠\right)-\sum _{𝑚=0}^{𝑀}\left(\sum _{𝑖=1}^{𝑚}{𝑠}^{𝑚-𝑖}\frac{d^{𝑖-1}𝑥\left(0\right)}{d{𝑡}^{𝑖-1}}\right){𝑏}_{𝑚}& =\widetilde{𝐵}\left(𝑠\right)\widetilde{𝑋}\left(𝑠\right)+\widetilde{𝐷}\left(𝑠\right)\end{array}$$

In pratica otteniamo una divisione tra polinomi:

$$\widetilde{𝑌}\left(𝑠\right)=\frac{\widetilde{𝐵}\left(𝑠\right)\widetilde{𝑋}\left(𝑠\right)+\widetilde{𝐷}\left(𝑠\right)-\widetilde{𝐸}\left(𝑠\right)}{\widetilde{𝐴}}\left(𝑠\right)$$

Anti-trasformazione del risultato

Per anti-trasformare bisogna ricondursi a qualcosa di più semplice, ad esempio $\frac{1}{𝑠-𝑑}$.

Ricombiniamo l’espressione di polinomi trovata sopra:

$$\widetilde{𝑌}\left(𝑠\right)=\widetilde{𝐶}\frac{𝑠}{\widetilde{𝐴}}\left(𝑠\right)=\widetilde{𝑄}\left(𝑠\right)+\widetilde{𝑅}\frac{𝑠}{\widetilde{𝐽}}\left(𝑠\right)=\widetilde{𝑄}\left(𝑠\right)+\sum _{𝑘=1}^{𝐾}\frac{{𝑂}_{𝑘}}{𝑠-{𝑠}_{𝑘}^{\text{zero}}}$$

• richiediamo che il grado di $\widetilde{𝑅}$ sia minore di quello di $\widetilde{𝐽}$
• ${𝑠}_{𝑘}^{\text{zero}}$ è il $𝑘$-esimo valore di $𝑠$ che annulla il polinomio $\widetilde{𝐽}\left(𝑠\right)$.
• ${𝑂}_{𝑘}={lim}_{𝑠\to {𝑠}_{𝑘}^{\text{zero}}}\left(𝑠-{𝑠}_{𝑘}^{\text{zero}}\right)\widetilde{𝑅}\frac{𝑠}{\widetilde{𝐽}}\left(𝑠\right)$

Quindi i passaggi diventano:

1. Troviamo gli zeri ${𝑠}_{𝑘}^{\text{zero}}$ di $\widetilde{𝐽}\left(𝑠\right)$.
2. Troviamo ${𝑂}_{𝑘}$.
3. Anti-trasformiamo.

Una volta che abbiamo trovato l’espressione semplificata di $\widetilde{𝑅}\frac{𝑠}{\widetilde{𝐽}}\left(𝑠\right)$, possiamo anti-trasformare e otteniamo:

$$\sum _{𝑘=1}^{𝐾}{𝑂}_{𝑘}{𝑒}^{{𝑠}_{𝑘}^{\text{zero}}𝑡}$$