Integrale di convoluzione per sistemi LTI

Sistema analogico LTI

Un sistema di elaborazione di segnali è costituito in genere da una cascata di blocchi che applicano una trasformazione al segnale.

I sistemi che studieremo in questo corso saranno lineari e tempo-invarianti.

Linearità

La linearità viene espressa matematicamente come segue: dati 2 segnali ${𝑥}_1\left(𝑡\right)$ e ${𝑥}_2\left(𝑡\right)$ e 2 numeri reali $𝑎$ e $𝑏$, un sistema $𝑓\left(𝑥\right)$ è lineare se:

$$𝑓\left(𝑎{𝑥}_1\left(𝑡\right)+𝑏{𝑥}_2\left(𝑡\right)\right)=𝑎𝑓\left({𝑥}_1\left(𝑡\right)\right)+𝑏𝑓\left({𝑥}_2\left(𝑡\right)\right)$$

Nei sistemi lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta a una combinazione lineare di ingressi è la combinazione lineare delle rispettive risposte.

Invarianza temporale

In un sistema tempo-invariante, la risposta non cambia al variare del ritardo del segnale in ingresso.

$$𝑓\left(𝑥\left(𝑡\right)\right)=𝑦\left(𝑡\right)\Rightarrow 𝑓\left(𝑥\left(𝑡-{𝑡}_0\right)\right)=𝑦\left(𝑡-{𝑡}_0\right)$$

Convoluzione

Dato un sistema lineare tempo-invariante, è possibile calcolare la risposta ad un segnale in ingresso $𝑥\left(𝑡\right)$ qualsiasi a partire dalla conoscenza della risposta all’impulso unitario $𝛿\left(𝑡\right)$.

Quindi ogni sistema può essere caratterizzato in base alla sua risposta a $𝛿\left(𝑡\right)$.

Dimostrazione:

1. Prendiamo un segnale $𝑥\left(𝑡\right)$ e lo approssimiamo tramite una serie di rettangoli di durata $\mathrm{\Delta }𝑇$ e area unitaria.

   Chiameremo ${𝑥}_{𝑅}\left(𝑡\right)$ il segnale approssimato e $𝑅\left(𝑡\right)$ ogni rettangolo. Inoltre ${ℎ}_{𝑅}\left(𝑡\right)$ sarà la risposta del sistema a ogni rettangolo.

   

2. Poiché il sistema è LTI:

   • la risposta ad una somma pesata di ingressi $𝑅\left(𝑡\right)$ è la somma delle uscite ${ℎ}_{𝑅}\left(𝑡\right)$;
   • la traslazione di $𝑅\left(𝑡\right)$ produce una pari traslazione della corrispondente uscita;

   Quindi la risposta al segnale ${𝑥}_{𝑅}\left(𝑡\right)$ è:

   $${𝑦}_{𝑅}\left(𝑡\right)=\sum _{𝑘}𝑥\left(𝑘\mathrm{\Delta }𝑇\right){ℎ}_{𝑅}\left(𝑡-𝑘\mathrm{\Delta }𝑇\right)\mathrm{\Delta }𝑇\simeq 𝑦\left(𝑡\right)$$

3. Usando un $\mathrm{\Delta }𝑇$ più piccolo miglioreremo l’approssimazione (l’area dell’errore tende a 0).

   Al limite $\mathrm{\Delta }𝑇\to 0$ la funzione $𝑅\left(𝑡\right)$ tende ad una funzione di durata nulla, ampiezza infinita e area unitaria. Abbiamo definito questa funzione come $𝛿\left(𝑡\right)$.

   La risposta al rettangolo (${ℎ}_{𝑅}\left(𝑡\right)$) tende a sua volta alla risposta all’impulso (che chiameremo $ℎ\left(𝑡\right)$).

   ${𝑥}_{𝑅}\left(𝑡\right)$ diventa l’integrale di una serie infinita di impulsi, coincidente con $𝑥\left(𝑡\right)$:

   $$\underset{\mathrm{\Delta }𝑇\to 0}{lim}{𝑥}_{𝑅}\left(𝑡\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }𝑥\left(𝜏\right)𝛿\left(𝑡-𝜏\right)d𝜏=𝑥\left(𝑡\right)$$

4. La stessa cosa vale per la risposta del sistema:

   $$\underset{\mathrm{\Delta }𝑇\to 0}{lim}{𝑦}_{𝑅}\left(𝑡\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }𝑥\left(𝜏\right)ℎ\left(𝑡-𝜏\right)d𝜏=𝑦\left(𝑡\right)=𝑥\left(𝑡\right)\ast ℎ\left(𝑡\right)$$

   L’integrale sopra definito prende il nome di integrale di convoluzione e rappresenta l’uscita esatta $𝑦\left(𝑡\right)$ di un sistema LTI in corrispondenza di un generico ingresso $𝑥\left(𝑡\right)$.

Caution

Non è detto che l’integrale di convoluzione sia facilmente risolvibile.

Interpretazione grafica

Dato un segnale $𝑢\left(𝑡\right)$ e la risposta impulsiva $ℎ\left(𝑡\right)$, la loro convoluzione $𝑦\left(𝑡\right)=𝑢\left(𝑡\right)\ast ℎ\left(𝑡\right)$ può essere interpretata come la sequenza di 3 operazioni:

1. ribaltamento di una delle due funzioni;
2. traslazione della funzione ribaltata;
3. prodotto punto a punto e integrazione del prodotto.

Proprietà

• restituisce una funzione che ha durata maggiore di quella degli operandi;
• è un’operazione lineare (perché è un integrale);
• gode delle proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto alla somma.