Prodotto vettoriale e misto, determinanti e piani

Prodotto vettoriale di segmenti orientati

Dati due vettori geometrici $𝒗, 𝒘 \in 𝑉^{3}$ , il loro prodotto vettoriale è il vettore $𝒖 = 𝒗 \times 𝒘$ , con modulo $‖ 𝒖 ‖ = ‖ 𝒗 ‖ ‖ 𝒘 ‖ sin (𝛼)$ e dove $𝛼$ è l’angolo tra i due vettori.

Se $𝒗$ e $𝒘$ sono paralleli, cioè se $𝒗 = 𝜆 𝒘$ per $𝜆 \in ℝ$ , allora il prodotto vettoriale è $𝟎$ .

La direzione di $𝒖$ è ortogonale sia a $𝒗$ sia a $𝒘$ e il verso è dato dalla regola della mano destra ( $𝒗$ è il pollice, $𝒘$ l’indice e $𝒖$ il medio).

$‖ 𝒗 \times 𝒘 ‖$ è l’area del parallelogramma costruito sui due vettori.

Proprietà:

Per ogni $𝒗, 𝒘, 𝒛 \in 𝑉^{3}$ e $𝜆 \in ℝ$ :

$𝒗 \times 𝒘 = - 𝒘 \times 𝒗$
$(𝜆 𝒗) \times 𝒘 = 𝒗 \times (𝜆 𝒘) = 𝜆 (𝒗 \times 𝒘)$
$(𝒗 + 𝒘) \times 𝒛 = 𝒗 \times 𝒛 + 𝒘 \times 𝒛$
$𝒗 \times (𝒘 + 𝒛) = 𝒗 \times 𝒘 + 𝒗 \times 𝒛$

Versori e prodotto vettoriale

Siano $𝒊$ , $𝒋$ e $𝒌$ i tre versori degli assi cartesiani.

Calcoliamone i prodotti vettoriali:

$𝒊 \times 𝒊 = 𝟎$
$𝒊 \times 𝒋 = 𝒌$
$𝒊 \times 𝒌 = - 𝒋$
$𝒋 \times 𝒊 = - 𝒌$
$𝒋 \times 𝒋 = 𝟎$
$𝒋 \times 𝒌 = 𝒊$
$𝒌 \times 𝒊 = 𝒋$
$𝒌 \times 𝒋 = - 𝒊$
$𝒌 \times 𝒌 = 𝟎$

Dati $𝒗 = 𝑣_{1} 𝒊 + 𝑣_{2} 𝒋 + 𝑣_{3} 𝒌$ e $𝒘 = 𝑤_{1} 𝒊 + 𝑤_{2} 𝒋 + 𝑤_{3} 𝒌$ :

𝒗 \times 𝒘 = (𝑣_{2} 𝑤_{3} - 𝑣_{3} 𝑤_{2}) 𝒊 + (𝑣_{3} 𝑤_{1} - 𝑣_{1} 𝑤_{3}) 𝒋 + (𝑣_{1} 𝑤_{2} - 𝑣_{2} 𝑤_{1}) 𝒌

Questa formula si può scrivere come il determinante della matrice:

[\begin{matrix} 𝒊 & 𝒋 & 𝒌 \\ 𝑣_{1} & 𝑣_{2} & 𝑣_{3} \\ 𝑤_{1} & 𝑤_{2} & 𝑤_{3} \end{matrix}]

Esempio: calcolo dell’area di un triangolo

Dati i vertici $𝐴 = (1, 0, 1)$ , $𝐵 = (3, 1, 1)$ e $𝐶 = (1, 1, 2)$ :

L’area si ottiene calcolando il modulo del prodotto vettoriale tra i vettori $\vec{𝐴 𝐵}$ e $\vec{𝐴 𝐶}$ e dividendo per due:

\vec{𝐴 𝐵} = (2, 1, 0), \vec{𝐴 𝐶} = (0, 1, 1)

\vec{𝐴 𝐵} \times \vec{𝐴 𝐶} = (1, - 2, 2)

Quindi:

Area = \frac{1}{2} | \vec{𝐴 𝐵} \times \vec{𝐴 𝐶} | = \frac{1}{2} \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}} = \frac{3}{2}

Prodotto misto

Dati tre vettori geometrici $𝒗$ , $𝒘$ e $𝒖$ , il prodotto misto è lo scalare:

𝒗 \cdot (𝒘 \times 𝒖)

Se $𝒗 = (𝑣_{1}, 𝑣_{2}, 𝑣_{3})$ , $𝒘 = (𝑤_{1}, 𝑤_{2}, 𝑤_{3})$ e $𝒖 = (𝑢_{1}, 𝑢_{2}, 𝑢_{3})$ , allora il prodotto misto è uguale a:

det [\begin{matrix} 𝑣_{1} & 𝑣_{2} & 𝑣_{3} \\ 𝑤_{1} & 𝑤_{2} & 𝑤_{3} \\ 𝑢_{1} & 𝑢_{2} & 𝑢_{3} \end{matrix}]

Il modulo del prodotto misto è il volume del parallelepipedo determinato dai tre vettori.

Determinante e rette complanari

Siano $𝑟$ e $𝑟^{'}$ due rette, $𝒗$ e $𝒘$ i rispettivi vettori direttori, $𝑃 \in 𝑟$ e $𝑄 \in 𝑟^{'}$ . Le rette sono complanari se e solo se l’insieme ${𝒗, 𝒘, \vec{𝑃 𝑄}}$ è linearmente dipendente, cioè se e solo se la matrice $𝑴$ che ha tali vettori come colonne ha determinante nullo:

det (𝑴) = 0

Determinante ed equazione cartesiana di un piano

Dati tre punti nello spazio non allineati $𝐴$ , $𝐵$ e $𝐶$ , essi determinano in maniera univoca un piano $𝜋$ .

Per trovare un’equazione cartesiana del piano si definiscono i vettori $\vec{𝐴 𝐵}$ e $\vec{𝐴 𝐶}$ ; il piano $𝜋$ è il luogo dei punti $𝑄$ tali che $\vec{𝐴 𝑄}$ è una combinazione lineare di $\vec{𝐴 𝐵}$ e $\vec{𝐴 𝐶}$ .

Quindi $𝑄 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) \in 𝜋$ se e solo se l’insieme ${\vec{𝐴 𝐵}, \vec{𝐴 𝐶}, \vec{𝐴 𝑄}}$ è linearmente dipendente, cioè se e solo se:

det [\begin{matrix} 𝑥 - 𝑥_{𝐴} & 𝑥_{𝐵} - 𝑥_{𝐴} & 𝑥_{𝐶} - 𝑥_{𝐴} \\ 𝑦 - 𝑦_{𝐴} & 𝑦_{𝐵} - 𝑦_{𝐴} & 𝑦_{𝐶} - 𝑦_{𝐴} \\ 𝑧 - 𝑧_{𝐴} & 𝑧_{𝐵} - 𝑧_{𝐴} & 𝑧_{𝐶} - 𝑧_{𝐴} \end{matrix}] = 0

dove $𝐴 = (𝑥_{𝐴}, 𝑦_{𝐴}, 𝑧_{𝐴})$ , $𝐵 = (𝑥_{𝐵}, 𝑦_{𝐵}, 𝑧_{𝐵})$ e $𝐶 = (𝑥_{𝐶}, 𝑦_{𝐶}, 𝑧_{𝐶})$ .