Trasformata di Fourier e teorema di Parseval

Teorema di Parseval

Prendiamo la definizione di potenza di un segnale periodico e sostituiamo $𝑥 (𝑡)$ con la sua rappresentazione di Fourier.

\begin{aligned} 𝑃_{𝑥} & = \frac{1}{𝑇_{0}} \int_{0}^{𝑇_{0}} (\sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡} \sum_{𝑘^{'} = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘^{'}} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑘^{'} 𝑓_{0} 𝑡}) d 𝑡 \\ = \frac{1}{𝑇_{0}} \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} \sum_{𝑘^{'} = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘} 𝑋_{𝑘^{'}} \int_{0}^{𝑇_{0}} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 (𝑘 + 𝑘^{'}) 𝑓_{0} 𝑡} d 𝑡 \end{aligned}

$\int_{0}^{𝑇_{0}} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 (𝑘 + 𝑘^{'}) 𝑓_{0} 𝑡} d 𝑡$ vale $𝑇_{0}$ se $𝑘 + 𝑘^{'} = 0$ , o $0$ altrimenti. L’integrale è quindi non nullo solo per $𝑘^{'} = - 𝑘$ :

𝑃_{𝑥} = \frac{1}{𝑇_{0}} \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘} 𝑋_{- 𝑘} 𝑇_{0} = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘} 𝑋_{- 𝑘} = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} {| 𝑋_{𝑘} |}^{2}

La potenza media del segnale è pari alla somma delle potenze delle singole armoniche.

Trasformata di Fourier

La serie di Fourier è limitata: si può applicare solo a segnali periodici. Vogliamo generalizzare.

Deperiodizzazione

Prendiamo un’onda quadra di ampiezza unitaria con ritorno a $0$ e periodo $𝑇_{0}$ . Ogni rettangolo avrà durata $𝜏$ . La sua serie di Fourier sarà:

𝑥 (𝑡) = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} rect (\frac{𝑡 - 𝑘 𝑇_{0}}{𝜏}) \Leftrightarrow 𝑋_{𝑘} = \frac{𝜏}{𝑇_{0}} sinc (𝑘 𝑓_{0} 𝜏)

Per deperiodizzare il segnale possiamo far tendere $𝑇_{0}$ a infinito: in questo modo le prime repliche dell’onda si sposterebbero a $\pm \infty$ , lasciando solo un rettangolo centrato nell’origine.

𝑥 (𝑡) ≃ rect (\frac{𝑡}{𝜏})

Rappresentazione grafica della deperiodizzazione

Generalizzazione

Prendiamo un segnale periodico $𝑥 (𝑡)$ , dove $𝑤 (𝑡)$ è la funzione che rappresenta il segnale in ogni periodo. Riscriviamo il segnale come:

𝑥 (𝑡) = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑤 (𝑡 - 𝑘 𝑇_{0}) = 𝑤 (𝑡) * \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝛿 (𝑡 - 𝑘 𝑇_{0})

Per $𝑇_{0} \to \infty$ , il segnale $𝑥 (𝑡)$ coinciderà con $𝑤 (𝑡)$ .

Deperiodizzazione e serie di Fourier

All’allontanarsi delle repliche del segnale, le righe dello spettro diventano sempre più fitte (le frequenze hanno distanza $\frac{1}{𝑇_{0}}$ ) mentre l’ampiezza dei coefficienti di ogni armonica si riduce.

Lo spettro tende a diventare una funzione continua, la cui ampiezza tende a $0$ . Per evitare questo problema, definiamo un coefficiente di Fourier modificato:

𝑋_{𝑘}^{'} = 𝑋_{𝑘} 𝑇_{0} = \int_{- \frac{𝑇_{0}}{2}}^{\frac{𝑇_{0}}{2}} 𝑤 (𝑡) 𝑒^{- 𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡} d 𝑡

e quindi la relativa serie modificata:

𝑥 (𝑡) = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑋_{𝑘}^{'} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑘 𝑓_{0} 𝑡} 𝑓_{0}

FT e IFT

La trasformata di Fourier e la sua inversa si ottengono portando $𝑇_{0}$ a $\infty$ :

Inversa (IFT): $𝑥 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑓) 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝑓 𝑡} d 𝑓$
Diretta (FT): $𝑋 (𝑓) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) 𝑒^{- 𝑗 2 𝜋 𝑓 𝑡} d 𝑡$

A differenza della serie, $𝑋 (𝑓)$ è una funzione continua in $𝑓$ , quindi lo spettro sarà continuo.

$𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓)$ costituisce una ‘coppia’ di Fourier. Si può passare da uno all’altro con la FT e la IFT, ma l’informazione contenuta è identica.

Proprietà

Simmetrie:
- Hermitiana: $𝑋 (𝑓) = \overset{̅}{𝑋 (- 𝑓)}$
- segnale pari: $𝑋 (𝑓) = 2 \int_{0}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) cos (2 𝜋 𝑓 𝑡) d 𝑡$
- segnale dispari: $𝑋 (𝑓) = - 2 𝑗 \int_{0}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) sin (2 𝜋 𝑓 𝑡) d 𝑡$
Linearità: $𝑧 (𝑡) = 𝑎 𝑥 (𝑡) + 𝑏 𝑦 (𝑡) \Rightarrow 𝑍 (𝑓) = 𝑎 𝑋 (𝑓) + 𝑏 𝑌 (𝑓)$
Fattore di scala: $𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) \Rightarrow 𝑥 (𝛼 𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} \frac{1}{| 𝛼 |} 𝑋 (\frac{𝑓}{𝛼})$
Se comprimiamo un segnale, le frequenze diventano più alte e quindi lo spettro si allarga. Se lo espandiamo, succede il contrario.
Note
Principio di indeterminazione tempo-frequenza:
- un segnale a durata limitata avrà un’estensione spettrale infinita;
- un segnale a durata infinita può avere un’estensione spettrale finita;
Ritardo: $𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) \Rightarrow 𝑥 (𝑡 - 𝑇) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) 𝑒^{- 𝑗 2 𝜋 𝑓 𝑇}$
Le componenti frequenziali non vengono modificate: cambia solo la loro fase. Lo sfasamento è proporzionale alla frequenza.
Teorema di dualità: $(𝑥 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓)) \Leftrightarrow (𝑋 (𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑥 (- 𝑓))$
Nella seconda corrispondenza, $𝑋 (𝑡)$ è un segnale nel tempo che ha la stessa forma di $𝑋 (𝑓)$ , mentre $𝑥 (- 𝑓)$ è la rappresentazione in frequenza che ha la stessa forma di $𝑥 (𝑡)$ .
Se conosciamo la trasformata di un segnale, possiamo ricavare anche quella del segnale che ha l’andamento del suo spettro.
Esempio: $ℱ︀ {1} = 𝛿 (𝑓) \Rightarrow ℱ︀ {𝛿 (𝑡)} = 1$
L’impulso è l’unica funzione che contiene tutte le frequenze con uguale intensità.
Teorema della convoluzione: $𝑥 (𝑡) * 𝑦 (𝑡) \Leftrightarrow 𝑋 (𝑓) 𝑌 (𝑓)$

Trasformate di segnali notevoli

rettangolo: $𝑥 (𝑡) = 𝐴 rect (\frac{𝑡}{𝑇}) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) = 𝐴 𝑇 sinc (𝑓 𝑇)$
costante: $𝑥 (𝑡) = 𝐴 \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) = 𝐴 𝛿 (𝑓)$
esponenziale causale (con $𝛼 > 0$ ): $𝑥 (𝑡) = 𝑢 (𝑡) 𝑒^{- 𝛼 𝑡} \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) = \frac{1}{𝛼 + 𝑗 2 𝜋 𝑓}$
sinusoidi, che contengono una sola componente frequenziale:
- $𝑥 (𝑡) = cos (2 𝜋 𝑓_{0} 𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) = \frac{1}{2} (𝛿 (𝑓 + 𝑓_{0}) + 𝛿 (𝑓 - 𝑓_{0}))$
- $𝑥 (𝑡) = sin (2 𝜋 𝑓_{0} 𝑡) \overset{ℱ︀}{\leftrightarrow} 𝑋 (𝑓) = \frac{𝑗}{2} (𝛿 (𝑓 + 𝑓_{0}) - 𝛿 (𝑓 - 𝑓_{0}))$