Materiali, bandgap e corrente di drift nel silicio

Materiali conduttori, isolanti e semiconduttori

I materiali isolanti, conduttori e semiconduttori si distinguono in base alla loro struttura elettronica e al modo in cui reagiscono agli stimoli esterni.

Ecco alcuni parametri da considerare:

• resistività: alta per gli isolanti, bassa per i conduttori;

• bandgap: è l’energia minima necessaria per promuovere gli elettroni a uno stato eccitato:

  • per i metalli è molto basso e conducono anche a basse temperature;
  • per i semiconduttori è moderato, quindi ne basta una piccola quantità;
  • per gli isolanti è molto alto;
• coefficiente di temperatura: i metalli diventano più resistivi con il calore, i semiconduttori più conduttivi;

I semiconduttori si ottengono dalla quarta colonna della tavola periodica (prevalentemente il silicio), oppure da combinazioni della terza e della quinta.

Resistenza di un filo

Preso un filo qualsiasi, la sua resistenza è data dalla resistività del materiale ($𝜌$), dalla sua lunghezza e dalla sua area di sezione.

$$𝑅=𝜌\frac{𝐿}{𝐴}$$

Struttura del silicio

Il silicio è l’elemento 14 della tavola periodica (quindi il nucleo è composto da 14 protoni e 14 neutroni).

Gli elettroni si dispongono lungo dei gusci che hanno delle bande di energia ben definite. Per spostare un elettrone da un guscio ad un altro bisogna fornire una certa quantità di energia (il bandgap).

Più atomi di silicio si legano tramite legami covalenti (elettroni condivisi tra due atomi). A temperatura $0\text{K}$, gli elettroni sono fissi nei legami e non possono muoversi, rendendo il materiale isolante.

A temperature più alte (anche ‘solo’ a $293\text{K}$), alcuni legami si rompono e gli elettroni sono liberi di scorrere, rendendo il silicio più conduttivo.

La rottura di un legame provoca 2 effetti: la liberazione di un elettrone e la creazione di una lacuna, che può essere riempita da altri elettroni disponibili.

La propagazione degli elettroni genera uno spostamento di cariche negative, mentre quella delle lacune uno di cariche positive (concetto astratto, dato che le lacune non sono particelle reali in grado di muoversi).

Concentrazione di portatori

$${𝑛}_{𝑖}^2=𝐵{𝑇}^3{𝑒}^{-\frac{{𝐸}_{𝐺}}{𝑘𝑇}}$$

• ${𝑛}_{𝑖}$: concentrazione di portatori di carica intrinseci per ${\text{cm}}^3$;
• ${𝐸}_{𝐺}$: bandgap in $\text{eV}$;
• $𝑘$: costante di Boltzmann;
• $𝑇$: temperatura in Kelvin;
• $𝐵$: parametro del materiale. Per il silicio intrinseco (puro) è $5.4\times {10}^{31}{\text{K}}^{-3}{\text{cm}}^{-6}$;

La concentrazione atomica del silicio è $5\times {10}^{22}\frac{\text{atomi}}{{\text{cm}}^3}$ e ${𝑛}_{𝑖}=1.5\times {10}^{10}\frac{\text{elettroni}}{{\text{cm}}^3}$ a temperatura ambiente ($300\text{K}$).

Nel silicio puro e in condizioni stabili, la concentrazione degli elettroni $𝑛$ e quella delle lacune $𝑝$ sono uguali, quindi ${𝑛}_{𝑖}=𝑛=𝑝$.

Legge dell’azione di massa

In chimica, la legge dell’azione di massa dice che la velocità di una reazione è proporzionale al prodotto delle concentrazioni dei reagenti.

I semiconduttori si comportano come una reazione reversibile tra legame intatto e coppia elettrone-lacuna. In uno stato di equilibrio, il numero di coppie che si creano deve essere uguale a quello delle coppie che si ricombinano.

$${𝑛}_{𝑖}^2=𝑝𝑛$$

La legge rimane valida anche per il silicio non puro (estrinseco), dove $𝑝$ e $𝑛$ non sono più uguali.

Corrente di drift

La corrente è la quantità netta di carica che attraversa una sezione del materiale in un certo intervallo di tempo.

In equilibrio, le cariche si muovono casualmente in tutte le direzioni, quindi la velocità media è nulla e la corrente totale è 0. Applicando un campo elettrico, le cariche tendono a muoversi nella sua direzione (drift), sempre con una certa casualità dovuta alle collisioni con le altre particelle.

• Forza di Lorentz: $𝐹=𝑞𝐸$;
• Seconda legge di Newton: $𝐹=𝑚𝑎$;

Quindi $𝑎=\frac{𝑞}{𝑚}𝐸$.

Velocità delle cariche

La velocità risulta proporzionale al campo elettrico:

• ${𝑣}_{𝑛}=-{𝜇}_{𝑛}𝐸$;
• ${𝑣}_{𝑝}={𝜇}_{𝑝}𝐸$;

${𝜇}_{𝑛}$ è la mobilità degli elettroni, con valore di $1350\frac{{\text{cm}}^2}{\text{V}\text{s}}$ nel silicio intrinseco, ${𝜇}_{𝑝}$ è la mobilità delle lacune, con valore di $500\frac{{\text{cm}}^2}{\text{V}\text{s}}$.

Note

Le lacune si ‘muovono’ più lentamente, perché il processo di creazione di una lacuna è più complesso.

Non si può aumentare il voltaggio indefinitamente per ottenere una maggior velocità della corrente. Ad un certo punto si arriva ad un limite detto velocità di saturazione.

Ad un certo punto la velocità di elettroni e lacune raggiunge un plateau. Questo pone dei limiti sulla velocità di trasferimento di dati dei circuiti elettronici.

Densità di corrente

Indica la quantità di carica che attraversa un’unità di superficie in un intervallo di tempo e si misura in $\frac{\text{A}}{{\text{cm}}^2}$.

$$𝐽=𝑄𝑣,𝐼={\int }_{𝑆}𝐽\cdot d𝑆$$

Dove $𝑄$ è la densità di carica in $\frac{\text{C}}{{\text{cm}}^3}$ e $𝑣$ è la velocità dei portatori.

La densità di corrente totale si calcola:

• ${𝑗}_{𝑛}^{\text{drift}}={𝑄}_{𝑛}{𝑣}_{𝑛}=\left(-𝑞𝑛\right)\left(-{𝜇}_{𝑛}𝐸\right)=𝑞𝑛{𝜇}_{𝑛}𝐸$
• ${𝑗}_{𝑝}^{\text{drift}}={𝑄}_{𝑝}{𝑣}_{𝑝}=\left(+𝑞𝑝\right)\left(+{𝜇}_{𝑝}𝐸\right)=𝑞𝑝{𝜇}_{𝑝}𝐸$
• ${𝑗}^{\text{drift}}=𝑞\left(𝑛{𝜇}_{𝑛}+𝑝{𝜇}_{𝑝}\right)𝐸=𝜎𝐸$

La conduttività del silicio è $𝜎=𝑞\left(𝑛{𝜇}_{𝑛}+𝑝{𝜇}_{𝑝}\right)$. Facendo il reciproco, otteniamo la resistività, che ha valore $2.25\times {10}^5\mathrm{\Omega }\text{cm}$. Il silicio intrinseco è sostanzialmente un isolante e quindi non sarebbe utilizzabile da solo per costruire circuiti.

Note

In confronto, il rame presenta una resistività di $𝜌=1.68\times {10}^{-6}\mathrm{\Omega }\text{cm}$ e una concentrazione di portatori $𝑛=8.46\times {10}^{22}{\text{cm}}^{-3}$.

Impurità (drogaggio)

L’aggiunta di impurità al silicio permette di cambiare la sua resistività.

Di solito si usano atomi pentavalenti (fosforo, arsenico, antimonio) che contribuiscono un elettrone in più, chiamati donatori, oppure atomi trivalenti (boro) che hanno un elettrone in meno e contribuiscono una lacuna, chiamati accettori.

Le impurità modificano le concentrazioni di portatori:

• se $𝑛>𝑝$ si parla di silicio di tipo $𝑛$, dove gli elettroni sono i portatori maggioritari;
• se $𝑛<𝑝$ si parla di silicio di tipo $𝑝$, dove le lacune sono i portatori maggioritari;

Le concentrazioni di impurità sono dell’ordine di ${10}^{14}$ fino a ${10}^{21}$ atomi per ${\text{cm}}^3$. Quella intrinseca dei portatori è dell’ordine di ${10}^{10}$. Quindi la concentrazione di impurità e quella dei portatori sono praticamente uguali per fini pratici.

L’introduzione di impurità rende anche il silicio meno sensibile alla temperatura, dato che i portatori vengono introdotti forzatamente e non dalla rottura dei legami.

Concentrazione di portatori

La carica totale del conduttore deve essere globalmente nulla:

• ${𝑁}_{𝐷}$: concentrazione di donatori (ioni positivi);
• ${𝑁}_{𝐴}$: concentrazione di accettori (ioni negativi);

$$𝑞\left({𝑁}_{𝐷}+𝑝-{𝑁}_{𝐴}-𝑛\right)=0$$

Continua a valere la legge dell’azione di massa ${𝑛}_{𝑖}^2=𝑝𝑛$.

Quindi per semiconduttori di tipo $𝑛$:

$${𝑛}^2-\left({𝑁}_{𝐷}-{𝑁}_{𝐴}\right)𝑛-{𝑛}_{𝑖}^2=0\Rightarrow 𝑛=\frac{\left({𝑁}_{𝐷}-{𝑁}_{𝐴}\right)+\sqrt{{\left({𝑁}_{𝐷}-{𝑁}_{𝐴}\right)}^2+4{𝑛}_{𝑖}^2}}{2}$$

Se ${𝑁}_{𝐷}-{𝑁}_{𝐴}\gg 2{𝑛}_{𝑖}$, allora si può approssimare:

• $𝑛={𝑁}_{𝐷}-{𝑁}_{𝐴}$
• $𝑝=\frac{{𝑛}_{𝑖}^2}{𝑛}$

La concentrazione dei portatori maggioritari (forniti dal drogaggio) è costante e indipendente dalla temperatura. Quella dei minoritari (particelle intrinseche) è proporzionale a ${𝑛}_{𝑖}^2$ e quindi dipendente dalla temperatura.

La mobilità diminuisce all’aumentare del drogaggio perché un maggiore numero di atomi aggiunti aumenta anche la probabilità di collisioni tra essi e gli elettroni.