Estremi liberi, punti di sella e matrice hessiana

Massimi e minimi per funzioni di più variabili

Problema: Dato un insieme $𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ e una funzione $𝑓:𝐴\to ℝ$, determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo di $𝑓$.

• ${𝒙}_0\in 𝐴$ è chiamato punto di massimo (o, rispettivamente, di minimo) relativo di $𝑓$ se esiste $𝑟>0$ tale che:

  $$\forall 𝒙\in 𝐴\cap 𝐵\left({𝒙}_0,𝑟\right),𝑓\left(𝒙\right)\le 𝑓\left({𝒙}_0\right)\left(\text{o, rispettivamente,}𝑓\left(𝒙\right)\ge 𝑓\left({𝒙}_0\right)\right)$$

• ${𝒙}_0\in 𝐴$ è chiamato punto di massimo (o, rispettivamente, di minimo) assoluto di $𝑓$ se:

  $$\forall 𝒙\in 𝐴,𝑓\left(𝒙\right)\le 𝑓\left({𝒙}_0\right)\left(\text{o, rispettivamente,}𝑓\left(𝒙\right)\ge 𝑓\left({𝒙}_0\right)\right)$$

Se ${𝒙}_0$ è un punto di massimo o minimo assoluto, allora è anche un punto di massimo o minimo relativo. Non vale la condizione inversa.

Caution

Non confondere i punti di massimo e minimo di $𝑓$ (ovvero l’input della funzione) con il suo valore massimo o minimo (ovvero l’output).

Estremi liberi di una funzione di più variabili

Gli estremi liberi di una funzione $𝑓$ sono i punti di massimo e minimo relativi di $𝑓$ che non giacciono sulla frontiera del dominio.

Teorema di Fermat

Sia $𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ un insieme aperto e sia $𝑓:𝐴\to ℝ$. Supponiamo che esista ${𝒙}_0\in 𝐴$ tale che:

• $𝑓$ sia differenziabile in ${𝒙}_0$. In particolare $\exists \nabla 𝑓\left({𝒙}_0\right)$.
• ${𝒙}_0$ sia un estremo libero di $𝑓$ in $𝐴$.

Allora il gradiente in ${𝒙}_0$ è il vettore nullo:

$$\nabla 𝑓\left({𝒙}_0\right)=\mathrm{𝟎}$$

Note

Un punto stazionario (o punto critico) di $𝑓$ è un punto in cui $𝑓$ è differenziabile e $\nabla 𝑓\left({𝒙}_0\right)=\mathrm{𝟎}$.

Non ogni punto stazionario di $𝑓$ è un punto di estremo libero.

Punti di sella

Un punto ${𝒙}_0\in 𝐴$ è definito punto di sella se è un punto stazionario di $𝑓$ e se la differenza $𝑓\left(𝒙\right)-𝑓\left({𝒙}_0\right)$ ammette valori sia positivi che negativi in ogni intorno di ${𝒙}_0$.

Segno di una matrice

Problema: Dato un insieme aperto $𝐴\subseteq {ℝ}^{𝑛}$ e una funzione $𝑓\in {𝐶}^2\left(𝐴\right)$, come determinare se un punto stazionario $𝒙$ è un estremo libero o un punto di sella?

Sia ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)\in {𝕄}_{𝑛,𝑛}$ l’hessiana di $𝑓$:

• ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è definita positiva se: $\forall 𝒗\in {ℝ}^{𝑛}\setminus \left\{\mathrm{𝟎}\right\},\left({𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)𝒗\right)\cdot 𝒗>0$
• ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è semi-definita positiva se: $\forall 𝒗\in {ℝ}^{𝑛}\setminus \left\{\mathrm{𝟎}\right\},\left({𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)𝒗\right)\cdot 𝒗\ge 0$
• ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è definita negativa se: $\forall 𝒗\in {ℝ}^{𝑛}\setminus \left\{\mathrm{𝟎}\right\},\left({𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)𝒗\right)\cdot 𝒗<0$
• ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è semi-definita negativa se: $\forall 𝒗\in {ℝ}^{𝑛}\setminus \left\{\mathrm{𝟎}\right\},\left({𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)𝒗\right)\cdot 𝒗\le 0$

Criterio per il segno di una matrice

Questo è un metodo più semplice per determinare il segno di una matrice $𝑨\in {𝕄}_{𝑛,𝑛}$.

Definiamo i minori principali di $𝐴$ (determinanti delle sottomatrici in alto a sinistra $𝑖\times 𝑖$):

$${𝐷}_{𝑖}=det\left(\begin{array}{ccc}{𝑎}_{1,1}& \dots & {𝑎}_{1,𝑖}\\ ⋮& & ⋮\\ {𝑎}_{𝑖,1}& \dots & {𝑎}_{𝑖,𝑖}\end{array}\right)$$

• $𝑨$ è definita positiva se e solo se $\forall 𝑖=1,\dots ,𝑛,{𝐷}_{𝑖}>0$
• $𝑨$ è definita negativa se e solo se $\{\begin{array}{cc}{𝐷}_{𝑖}>0& \text{per}𝑖\text{pari}\\ {𝐷}_{𝑖}<0& \text{per}𝑖\text{dispari}\end{array}$

Se $det\left(𝑨\right)={𝐷}_{𝑛}\ne 0$ e nessuna delle condizioni precedenti è soddisfatta, allora $𝑨$ non è semi-definita.

Tipologia di punto critico in base al segno della matrice hessiana

Sia $𝑓\in {𝐶}^2\left(𝐴\right)$ e sia $𝒙\in 𝐴$ un punto stazionario di $𝑓$. Allora si ha:

• Se ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è definita positiva, allora $𝒙$ è un punto di minimo relativo.
• Se ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è definita negativa, allora $𝒙$ è un punto di massimo relativo.
• Se ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ non è né semi-definita positiva né semi-definita negativa, allora $𝒙$ è un punto di sella.
• Se ${𝐷}_{𝑓}^2\left(𝒙\right)$ è semi-definita positiva o semi-definita negativa, allora $𝒙$ può essere un punto di massimo, minimo o di sella.