Matrici rappresentative e cambiamento di base

Matrici rappresentative di funzioni lineari

Data una funzione lineare qualsiasi, si può trovare una matrice che la rappresenta rispetto a una base di partenza del dominio e a una di arrivo del codominio.

Note

La matrice rappresentativa descrive la funzione solo rispetto a una determinata coppia di basi; per gli endomorfismi diagonalizzabili vedremo più avanti come scegliere una base di autovettori che semplifica la matrice.

Come costruire la matrice rappresentativa di una funzione $𝑓:𝑉\to {𝑉}^{\prime }$

Date due basi:

• $\mathrm{𝒜︀}=\left\{{𝒂}_1,\dots ,{𝒂}_{𝑛}\right\}\subseteq 𝑉$
• $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑚}\right\}\subseteq {𝑉}^{\prime }$

In pratica, le colonne della matrice rappresentativa contengono le coordinate, rispetto alla base $\mathrm{ℬ︀}$, delle immagini $𝑓\left({𝒂}_{𝑖}\right)$ dei vettori della base $\mathrm{𝒜︀}$. Quindi la matrice rappresentativa descrive dove finiscono i vettori di $\mathrm{𝒜︀}$ dopo che è stata applicata loro la trasformazione $𝑓$.

Determiniamo i coefficienti ${𝛼}_{𝑖,𝑗}$ della matrice:

$$\begin{array}{c}𝑓\left({𝒂}_1\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑚}{𝛼}_{𝑖,1}{𝒃}_{𝑖}\\ ⋮\\ 𝑓\left({𝒂}_{𝑛}\right)=\sum _{𝑖=1}^{𝑚}{𝛼}_{𝑖,𝑛}{𝒃}_{𝑖}\end{array}$$

Chiamiamo ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)$ la matrice rappresentativa di $𝑓$ rispetto alle basi $\mathrm{𝒜︀}$ (del dominio) e $\mathrm{ℬ︀}$ (del codominio).

$${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left(𝑓\right)=\left[\begin{array}{ccc}{𝛼}_{1,1}& \dots & {𝛼}_{1,𝑛}\\ ⋮& & ⋮\\ {𝛼}_{𝑚,1}& \dots & {𝛼}_{𝑚,𝑛}\end{array}\right]$$

Se le basi di partenza e di arrivo coincidono, allora si può anche scrivere $𝑴\left(𝑓\right)$.

Coordinate e matrici rappresentative

Se una funzione lineare $𝑓$ è definita su uno spazio vettoriale diverso da quello delle ennuple, dove la moltiplicazione per la matrice rappresentativa potrebbe risultare difficile o non essere definita, è possibile applicare la trasformazione all’ennupla $𝒘$ delle coordinate di quel vettore e poi riconvertire l’ennupla nel corrispondente vettore del codominio di $𝑓$.

$$\begin{array}{ccc}𝑉& \stackrel{𝑓\left(𝒗\right)}{\to }& {𝑉}^{\prime }\\ \downarrow & & \downarrow \\ {𝑇}_{\mathrm{𝒜︀}}& & {𝑇}_{\mathrm{ℬ︀}}\\ \downarrow & & \downarrow \\ {ℝ}^{𝑛}& \stackrel{𝑴𝒘}{\to }& {ℝ}^{𝑚}\end{array}$$

Visto il diagramma sopra, il procedimento da seguire è $𝑓\left(𝒗\right)={\left({𝑇}_{\mathrm{ℬ︀}}\right)}^{-1}𝑴{𝑇}_{\mathrm{𝒜︀}}\left(𝒗\right)$, dove ${𝑇}_{\mathrm{𝒜︀}}$ converte $𝒗$ nell’ennupla delle coordinate rispetto alla base $\mathrm{𝒜︀}$ e ${\left({𝑇}_{\mathrm{ℬ︀}}\right)}^{-1}$ riconverte l’ennupla delle coordinate rispetto alla base $\mathrm{ℬ︀}$ in un vettore del codominio.

Corollario:

• $ker\left(𝑴\right)={𝑇}_{\mathrm{𝒜︀}}\left(ker\left(𝑓\right)\right)$ e $ker\left(𝑓\right)={\left({𝑇}_{\mathrm{𝒜︀}}\right)}^{-1}\left(ker\left(𝑴\right)\right)$
• $span\left(𝐶\left(𝑴\right)\right)={𝑇}_{\mathrm{ℬ︀}}\left(Im\left(𝑓\right)\right)$ e $Im\left(𝑓\right)={\left({𝑇}_{\mathrm{ℬ︀}}\right)}^{-1}\left(span\left(𝐶\left(𝑴\right)\right)\right)$

Cambiamento di base

Abbiamo visto che un vettore appartenente ad uno spazio vettoriale $𝑉$ è rappresentato da un’unica combinazione lineare rispetto ad una base scelta di $𝑉$. Le coordinate del vettore sono i coefficienti di questa combinazione lineare.

Per rappresentare lo stesso vettore rispetto a un’altra base di $𝑉$ è necessario rimappare le sue coordinate. Questa operazione è detta cambiamento di base.

Sia $𝒗\in 𝑉$, quindi posso scriverlo come combinazione lineare degli elementi di una base $\mathrm{𝒜︀}=\left\{{𝒂}_1,\dots ,{𝒂}_{𝑛}\right\}$ oppure come un’altra combinazione lineare (a coefficienti ovviamente differenti) di un’altra base $\mathrm{ℬ︀}=\left\{{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{𝑛}\right\}$:

$$𝒗=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝜆}_{𝑖}{𝒂}_{𝑖}=\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝜇}_{𝑖}{𝒃}_{𝑖}$$

Chiamo ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}$ la matrice che mette in relazione le coordinate rispetto alla base $\mathrm{𝒜︀}$ con quelle rispetto alla base $\mathrm{ℬ︀}$. Posso passare dalle coordinate rispetto alla base $\mathrm{𝒜︀}$ a quelle rispetto alla base $\mathrm{ℬ︀}$ moltiplicando il vettore delle coordinate per ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}$:

$${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\left[\begin{array}{c}{𝜆}_1\\ ⋮\\ {𝜆}_{𝑛}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{𝜇}_1\\ ⋮\\ {𝜇}_{𝑛}\end{array}\right]$$

Per il cambiamento inverso posso usare la matrice inversa di ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}$:

$${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{\mathrm{𝒜︀}}={\left({𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\right)}^{-1}$$

Come trovare la matrice rappresentativa di una funzione rispetto a basi arbitrarie

Sia $𝑓:{ℝ}^{𝑛}\to {ℝ}^{𝑚}$ una funzione lineare rappresentata dalla matrice ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)$.

Supponiamo di voler trovare ${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{{\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)$, matrice rappresentativa di $𝑓$ rispetto alle basi $\mathrm{ℬ︀}$ di ${ℝ}^{𝑛}$ e ${\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }$ di ${ℝ}^{𝑚}$, partendo da ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)$.

Per una funzione lineare vale il seguente diagramma: nella parte superiore, la funzione è definita da una matrice rispetto alle basi $\mathrm{𝒜︀}$ e ${\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }$ di ${ℝ}^{𝑛}$ e ${ℝ}^{𝑚}$ rispettivamente; in quella inferiore, la stessa funzione è definita rispetto ad altre due basi del dominio ($\mathrm{ℬ︀}$) e del codominio (${\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }$):

$$\begin{array}{ccc}{ℝ}^{𝑛}& \stackrel{{𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)}{\to }& {ℝ}^{𝑚}\\ \downarrow & & \downarrow \\ {𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}& & {𝑴}_{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}^{{\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }}\\ \downarrow & & \downarrow \\ {ℝ}^{𝑛}& \stackrel{{𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{{\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)}{\to }& {ℝ}^{𝑚}\end{array}$$

Dal diagramma consegue che ${𝑴}_{\mathrm{ℬ︀}}^{{\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)={𝑴}_{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}^{{\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }}{𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right){\left({𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{\mathrm{ℬ︀}}\right)}^{-1}$. Ovvero, se voglio applicare la funzione rappresentata da ${𝑴}_{\mathrm{𝒜︀}}^{{\mathrm{𝒜︀}}^{\prime }}\left(𝑓\right)$ a un vettore dato in coordinate rispetto alla base $\mathrm{ℬ︀}$, posso calcolare le sue coordinate rispetto alla base $\mathrm{𝒜︀}$, applicare la trasformazione lineare e poi riconvertire il vettore nelle coordinate rispetto alla base ${\mathrm{ℬ︀}}^{\prime }$.