Moltiplicatori di Lagrange e funzione implicita

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

https://www.youtube.com/watch?v=8mjcnxGMwFo

Consideriamo l’insieme $𝐴=\left\{𝒑\in {ℝ}^2|𝑔\left(𝒑\right)\le 0\right\}$, dove $𝑔\in {𝐶}^1\left({ℝ}^2\right)$. Definiamo la sua frontiera come $𝜕𝐴=\left\{𝒑\in {ℝ}^2|𝑔\left(𝒑\right)=0\right\}$. $𝜕𝐴$ rappresenta un vincolo (una curva nel piano).

Supponiamo di voler massimizzare o minimizzare una funzione $𝑓\in {𝐶}^1\left({ℝ}^2\right)$ su $𝜕𝐴$. Assumiamo le seguenti condizioni:

• $\exists {min}_{𝜕𝐴}𝑓\left(𝒑\right)=𝑓\left({𝒑}_0\right)$, oppure $\exists {max}_{𝜕𝐴}𝑓\left(𝒑\right)=𝑓\left({𝒑}_0\right)$;
• $\exists \nabla 𝑔\left({𝒑}_0\right)\ne \mathrm{𝟎}$;

In queste condizioni, esiste un numero reale ${𝜆}_0$, noto come moltiplicatore di Lagrange, tale che il punto $\left({𝑥}_0,{𝑦}_0,{𝜆}_0\right)$ sia un punto stazionario (libero) della funzione lagrangiana definita come:

$$𝐿\left(𝑥,𝑦,𝜆\right)=𝑓\left(𝑥,𝑦\right)+𝜆𝑔\left(𝑥,𝑦\right)$$

Equivalentemente, deve esistere ${𝜆}_0$ tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

$$\{\begin{array}{c}𝑔\left({𝒑}_0\right)=0\\ \nabla 𝑓\left({𝒑}_0\right)+{𝜆}_0\nabla 𝑔\left({𝒑}_0\right)=\mathrm{𝟎}\end{array}$$

La prima condizione assicura che ${𝒑}_0$ si trovi sulla frontiera di $𝐴$, mentre la seconda condizione implica che i gradienti di $𝑓$ e di $𝑔$ siano paralleli in ${𝒑}_0$.

Il moltiplicatore $𝜆$ è il fattore di proporzionalità che lega i gradienti, dato che essi sono linearmente dipendenti in quel punto.

Un punto ${𝒑}_0$ che soddisfa queste condizioni (ovvero dove la curva di livello di $𝑓$ e la frontiera $𝜕𝐴$ sono tangenti) è definito punto stazionario vincolato della funzione $𝑓$ rispetto al vincolo $𝜕𝐴$.

Teorema della funzione implicita di U. Dini

Supponiamo che la funzione $𝑔$ sia ${𝐶}^1$ in un intorno del punto ${𝒑}_0=\left({𝑥}_0,{𝑦}_0\right)$, che $𝑔\left({𝒑}_0\right)=0$ e che $\frac{𝜕𝑔}{𝜕𝑦}\left({𝒑}_0\right)\ne 0$. In questo caso, esistono un intorno $𝐵\left({𝒑}_0,𝑟\right)$ e un intervallo $\left({𝑥}_0-𝛿,{𝑥}_0+𝛿\right)$ tali che:

• L’insieme $\left\{𝒑\in 𝐵\left({𝒑}_0,𝑟\right)|𝑔\left(𝒑\right)=0\right\}$ può essere rappresentato come il grafico di una funzione $𝑦=ℎ\left(𝑥\right):\left({𝑥}_0-𝛿,{𝑥}_0+𝛿\right)\to ℝ$;
• La derivata di $ℎ\left(𝑥\right)$ in $\left({𝑥}_0-𝛿,{𝑥}_0+𝛿\right)$ è: ${ℎ}^{\prime }\left(𝑥\right)=-\frac{\frac{𝜕𝑔}{𝜕𝑥}\left(𝑥,ℎ\left(𝑥\right)\right)}{\frac{𝜕𝑔}{𝜕𝑦}\left(𝑥,ℎ\left(𝑥\right)\right)}$

Il teorema garantisce che la curva definita implicitamente da $𝑔\left(𝒑\right)=0$ può essere localmente espressa esplicitamente come $𝑦=ℎ\left(𝑥\right)$. Questo risultato è fondamentale per studiare curve definite implicitamente (come circonferenze ed ellissi) senza la necessità di esplicitare la loro forma funzionale.