Spazi vettoriali, combinazioni lineari e span

Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale reale è un insieme $𝑉$ (i cui elementi sono detti vettori) su cui sono definite due operazioni che soddisfano determinate proprietà:

• somma tra elementi qualsiasi di $𝑉$:

  • $𝒗+𝒘=𝒘+𝒗$
  • $\left(𝒗+𝒘\right)+𝒖=𝒗+\left(𝒘+𝒖\right)$
  • $\exists \mathrm{𝟎}\in 𝑉|\mathrm{𝟎}+𝒗=𝒗$
  • $𝒗+\left(-𝒗\right)=\mathrm{𝟎}$

• prodotto di un elemento di $𝑉$ per uno scalare:

  • $𝜆\left(𝜇𝒗\right)=\left(𝜆𝜇\right)𝒗$
  • $1𝒗=𝒗$
  • $\left(𝜆+𝜇\right)𝒗=𝜆𝒗+𝜇𝒗$
  • $𝜆\left(𝒗+𝒘\right)=𝜆𝒗+𝜆𝒘$

Note

Tutti i tipi di vettori visti finora soddisfano queste proprietà:

• vettori geometrici (classe di equivalenza di segmenti orientati);
• matrici;
• ennuple (elementi di ${ℝ}^{𝑛}$);

Combinazioni lineari

Dato uno spazio vettoriale reale $𝑉$, considerati i vettori ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\in 𝑉$ e gli scalari ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$, il vettore:

$$𝒗=\sum _{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}$$

è detto combinazione lineare dei vettori ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}$ con coefficienti ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$ e appartiene a $𝑉$.

Forma matriciale

La combinazione lineare ${\sum }_{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}$ si può scrivere sotto forma di prodotto tra matrici. Detta $𝑨$ la matrice che ha come colonne i vettori ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}$:

$$𝑨=\left[\begin{array}{ccc}{𝒗}_1& \dots & {𝒗}_{𝑘}\end{array}\right],\sum _{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}=𝑨\left[\begin{array}{c}{𝜆}_1\\ ⋮\\ {𝜆}_{𝑘}\end{array}\right]$$

Il risultato è quindi il vettore riga dato dal prodotto tra la matrice $𝑨$ e il vettore colonna degli scalari ${𝜆}_1,\dots ,{𝜆}_{𝑘}$.

Sottospazi vettoriali

Un sottoinsieme $𝑈$ dello spazio vettoriale $𝑉$, $𝑈\subseteq 𝑉$, è detto sottospazio di $𝑉$ se è chiuso rispetto alle due operazioni di $𝑉$, ovvero se la somma di due elementi di $𝑈$ e il prodotto di un elemento di $𝑈$ per uno scalare danno come risultato un altro elemento di $𝑈$.

Di conseguenza, una combinazione lineare di elementi di un sottospazio deve restituire un altro elemento di quel sottospazio.

$$\forall {𝒖}_1,{𝒖}_2\in 𝑈,\forall 𝜆,𝜇\in ℝ,𝜆{𝒖}_1+𝜇{𝒖}_2\in 𝑈$$

Se $𝑈$ è un sottospazio di $𝑉$ allora $\mathrm{𝟎}\in 𝑈$, per le proprietà del prodotto di un elemento di $𝑉$ per lo scalare $0$.

Se $\exists 𝒖\in 𝑈|𝒖\ne \mathrm{𝟎}$, allora $𝑈$ contiene infiniti elementi, dati da $𝜆𝒖$ al variare di $𝜆\in ℝ$.

Esempio: sottospazi di ${ℝ}^{𝑛}$:

• $\left\{\mathrm{𝟎}\right\}$: insieme formato solo dal vettore nullo;
• ${ℝ}^{𝑛}$: lo spazio stesso è un sottospazio di sé;
• $\left\{𝒗|𝑨𝒗=\mathrm{𝟎}\right\}$: insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo;
• $\left\{𝒗=\left(0,{𝑣}_2,\dots ,{𝑣}_{𝑛}\right)\right\}$: insieme delle ennuple in cui il primo elemento è $0$;

Generatori di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale reale $𝑉$ e dei vettori ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\in 𝑉$, l’insieme di tutte le combinazioni lineari di ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}$ è detto spazio generato da ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}$.

Si definisce:

$$span\left({𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right)=\left\{\sum _{𝑖=1}^{𝑘}{𝜆}_{𝑖}{𝒗}_{𝑖}\text{con}{𝜆}_{𝑖}\in ℝ\right\}$$

Se esistono ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\in 𝑉$ tali che $𝑉=span\left({𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right)$, allora si dice che $𝑉$ è finitamente generato e che $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ è un sistema di generatori di $𝑉$.

Stabilire se un insieme di ennuple è un sistema di generatori di ${ℝ}^{𝑛}$

L’insieme di ennuple $\left\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_{𝑘}\right\}$ è un insieme di generatori di ${ℝ}^{𝑛}$ se e solo se:

$$rg\left(𝑨\right)=𝑛\text{con}𝑨=\left[\begin{array}{ccc}{𝒗}_1& \dots & {𝒗}_{𝑘}\end{array}\right]$$

Per avere rango $𝑛$, è necessario che $𝑘\ge 𝑛$.