Prodotto scalare, norma e basi ortonormali

Prodotto scalare in uno spazio vettoriale

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale reale. Un prodotto scalare su $𝑉$ è una funzione che a ogni coppia $𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ associa un numero reale $𝒗 \cdot 𝒘$ tale che:

$𝒗 \cdot 𝒘 = 𝒘 \cdot 𝒗$
$(𝜆 𝒗) \cdot 𝒘 = 𝜆 (𝒗 \cdot 𝒘)$
$𝒗 \cdot (𝒘 + 𝒖) = 𝒗 \cdot 𝒘 + 𝒗 \cdot 𝒖$
$𝒗 \cdot 𝒗 \geq 0$ , con $𝒗 \cdot 𝒗 = 0$ se e solo se $𝒗 = 𝟎$

Spazio vettoriale euclideo

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare è detto spazio vettoriale euclideo.

Esempi:

$𝑉^{3}$ spazio dei vettori geometrici.
$ℝ^{𝑛}$ spazio delle ennuple.
Il prodotto scalare canonico è definito come:
$𝒗 \cdot 𝒘 = \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑣_{𝑖} 𝑤_{𝑖}, 𝒗, 𝒘 \in ℝ^{𝑛}$
$𝑀_{2, 2} (ℝ)$ spazio delle matrici quadrate di dimensione 2.
Il prodotto scalare è definito come:
$𝑨 \cdot 𝑩 = Tr (𝑩^{𝑇} 𝑨)$
$Tr$ è la traccia di una matrice (definita solo per le matrici quadrate) e rappresenta la somma degli elementi che si trovano sulla diagonale principale.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale euclideo e siano $𝒗, 𝒘 \in 𝑉$ ; allora:

{(𝒗 \cdot 𝒘)}^{2} \leq (𝒗 \cdot 𝒗) (𝒘 \cdot 𝒘)

Norma di un vettore

La norma di un vettore è definita come:

‖ 𝒗 ‖ = \sqrt{𝒗 \cdot 𝒗}

Essa è un numero reale maggiore o uguale a $0$ , e $‖ 𝒗 ‖ = 0$ se e solo se $𝒗 = 𝟎$ .

La normalizzazione di un vettore $𝒗 \neq 𝟎$ è data da:

\frac{𝒗}{‖ 𝒗 ‖}

Proprietà:

$‖ 𝜆 𝒗 ‖ = | 𝜆 | ‖ 𝒗 ‖$
$‖ 𝒗 + 𝒘 ‖ \leq ‖ 𝒗 ‖ + ‖ 𝒘 ‖$

Distanza tra due vettori

La distanza tra due vettori $𝒗$ e $𝒘$ è data da:

𝑑 (𝒗, 𝒘) = ‖ 𝒗 - 𝒘 ‖

Esempio: polinomi $𝑝 (𝑥), 𝑞 (𝑥) \in ℝ_{2} [𝑥]$

𝑑 (𝑝 (𝑥), 𝑞 (𝑥)) = ‖ 𝑝 (𝑥) - 𝑞 (𝑥) ‖ = \sqrt{(𝑝 (𝑥) - 𝑞 (𝑥)) (𝑝 (𝑥) - 𝑞 (𝑥))}

Proprietà:

$𝑑 (𝒗, 𝒘) \geq 0$
$𝑑 (𝒗, 𝒘) = 0 \Leftrightarrow 𝒗 = 𝒘$
$𝑑 (𝒗, 𝒘) = 𝑑 (𝒘, 𝒗)$
$𝑑 (𝒗, 𝒘) \leq 𝑑 (𝒗, 𝒖) + 𝑑 (𝒖, 𝒘)$

Ortogonalità tra due vettori

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale euclideo; $𝒗$ e $𝒘$ sono ortogonali se:

𝒗 \cdot 𝒘 = 0

Esempio: $ℝ^{2}$ con prodotto scalare canonico ( $𝒗 \cdot 𝒘 = ‖ 𝒗 ‖ ‖ 𝒘 ‖ cos (𝛼)$ ).

I due vettori sono ortogonali se e solo se $𝒗 = 𝟎$ , oppure $𝒘 = 𝟎$ , oppure $cos (𝛼) = 0$ .

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale euclideo. Se ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ è un insieme di vettori non nulli ortogonali a coppie (ogni vettore è ortogonale a ogni altro), allora ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ è linearmente indipendente.

Se $dim (𝑉) = 𝑛$ e ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ sono vettori non nulli ortogonali a coppie, allora essi formano una base di $𝑉$ .

Proiezioni ortogonali

La proiezione ortogonale di un vettore $𝒗$ su un vettore $𝒖 \neq 𝟎$ è data dalla funzione lineare:

{pr}_{𝒖} (𝒗) = \frac{𝒖 \cdot 𝒗}{𝒖 \cdot 𝒖} 𝒖

Base ortonormale

Sia $𝑉$ uno spazio vettoriale euclideo. Un insieme ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ è ortonormale se:

𝒗_{𝑖} \cdot 𝒗_{𝑗} = 𝛿_{𝑖, 𝑗} = {\begin{cases} 𝑖 = 𝑗 \Rightarrow 1 \\ 𝑖 \neq 𝑗 \Rightarrow 0 \end{cases}

dove $𝛿_{𝑖, 𝑗}$ è il simbolo di Kronecker, applicato a tutte le coppie di vettori $𝒗_{𝑖}, 𝒗_{𝑗}$ . Quindi un insieme è ortonormale se e solo se tutti gli elementi sono ortogonali a coppie e la loro norma è pari a $1$ .

Ottenere una base ortonormale partendo da una base qualunque (metodo di Gram-Schmidt)

Dato un insieme di vettori linearmente indipendenti ${𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}$ , costruiremo un insieme di vettori ${𝒂_{1}, \dots, 𝒂_{𝑛}}$ tali che $span ({𝒗_{1}, \dots, 𝒗_{𝑛}}) = span ({𝒂_{1}, \dots, 𝒂_{𝑛}})$ , cioè che generano lo stesso sottospazio.

I vettori ${𝒂_{1}, \dots, 𝒂_{𝑛}}$ si ottengono in questo modo:

\begin{aligned} 𝒂_{1} & = 𝒗_{1} \\ 𝒂_{2} & = 𝒗_{2} - {pr}_{𝒂_{1}} (𝒗_{2}) \\ ⋮ \\ 𝒂_{𝑖} & = 𝒗_{𝑖} - \sum_{𝑘 = 1}^{𝑖 - 1} {pr}_{𝒂_{𝑘}} (𝒗_{𝑖}) \end{aligned}

Infine, una volta ottenuti i vettori ${𝒂_{1}, \dots, 𝒂_{𝑛}}$ , è necessario normalizzarli affinché abbiano norma pari a $1$ .