Circuiti a parametri concentrati e teoremi di rete

Circuiti a parametri concentrati

Quando si parla di circuiti, si possono considerare due macro-modelli:

• circuiti a parametri concentrati:

  • rappresentazione ideale che non riproduce perfettamente la realtà;
  • l’effetto di ogni componente sul circuito è ridotto al suo ruolo ideale (ad esempio, una resistenza si comporterà in modo puramente resistivo, caratterizzato dal solo parametro $𝑅$: non verranno considerate le sue altre caratteristiche, per esempio induttanza e capacità intrinseche);

• circuiti a parametri distribuiti:

  • usati soprattutto per reti di distribuzione;
  • sono una rappresentazione più realistica;

Nel corso tratteremo solo circuiti a parametri concentrati.

Ripasso

Topologia

Introduciamo un elemento generico con due morsetti. Attraverso i morsetti, l’oggetto si collega agli altri elementi del circuito.

Il collegamento che si forma unendo più elementi viene detto topologia. Non ci interesseranno le caratteristiche geometriche del collegamento (curvatura, lunghezza, ecc.), ma solo gli elementi del circuito.

Quando un elemento presenta una differenza di potenziale tra i suoi morsetti, una corrente lo attraversa. In fisica, per convenzione, la corrente scorre dal polo positivo a quello negativo dell’elemento.

Un nodo è definito come la connessione tra due o più elementi. Una maglia è definita come un percorso chiuso all’interno di un circuito.

                               ┌───┐
                             ┌─┤   ├─┐
  ┌───┐   ┌───┐        ┌───┐ │ └───┘ │
┌─┤   ├───┤   ├─┐    ┌─┤   ├─┤       │
│ └───┘   └───┘ │    │ └───┘ │ ┌───┐ │
└───────────────┘    │       └─┤   ├─┤
                     │         └───┘ │
                     └───────────────┘

Nei circuiti sopra ci sono sempre due nodi, però nel primo c’è solo una maglia, mentre nel secondo tre.

Leggi di Kirchhoff

Legge dei nodi (Kirchhoff Current Law)

La somma delle correnti che entrano ed escono in un nodo è sempre uguale a 0.

$$\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝐼}_{𝑖}\left(𝑡\right)=0$$

Convenzione: se la corrente è entrante nel nodo il suo segno sarà positivo, se invece è uscente sarà negativo.

Convenzione: la corrente scorre dai punti con potenziale più alto a quelli con potenziale più basso.

Legge delle maglie (Kirchhoff Voltage Law)

Fissato un verso di percorrenza della maglia (tipicamente in senso orario), la somma delle differenze di potenziale lungo il percorso sarà sempre uguale a 0.

$$\sum _{𝑖=1}^{𝑛}{𝑉}_{𝑖}\left(𝑡\right)=0$$

Convenzione: entrare nel componente dal morsetto positivo e uscire da quello negativo genera una differenza di potenziale con segno positivo. Viceversa se il componente è attraversato nell’altro verso.

Componenti circuitali

I componenti che studieremo in questo corso saranno sempre:

• passivi (eccetto i generatori): non generano energia, possono solo dissiparla o immagazzinarla;
• lineari;
• tempo-invarianti;

Resistore

$$𝑉\left(𝑡\right)=𝑓\left(𝐼\left(𝑡\right)\right)$$

Simbolo:

Proprietà:

• linearità: $𝑉\left(𝑡\right)=𝑅\left(𝑡\right)𝐼\left(𝑡\right)$;
• tempo-invarianza: $𝑉\left(𝑡\right)=𝑅𝐼\left(𝑡\right)$;

Da queste definizioni segue che corrente e tensione devono essere sempre o entrambe positive o entrambe negative (la resistenza è sempre positiva).

Per una rappresentazione grafica, si usa un grafico a due assi ($𝐼$ verticale e $𝑉$ orizzontale). Il diagramma di un resistore è sempre una retta passante per il primo o terzo quadrante.

Generatori di tensione e corrente

Un generatore di tensione è un oggetto che mantiene una differenza di potenziale ai suoi capi. Il suo grafico $\frac{𝐼}{𝑉}$ è una retta verticale che passa per la $𝑉$ del generatore.

Un generatore di corrente è un oggetto che mantiene una corrente in uscita. Il suo grafico $\frac{𝐼}{𝑉}$ è una retta orizzontale che passa per la $𝐼$ del generatore.

Il generatore ideale è in grado di mantenere la stessa tensione per ogni corrente.

Consideriamo la relazione tra corrente e tensione in un resistore. Il comportamento di un generatore di tensione spento può essere simulato portando la resistenza a 0, e quindi $\frac{1}{𝑅}=+\infty$. Questo significa che un generatore di tensione con $𝑉=0$ è equivalente a un resistore con $𝑅=0$, ovvero un cortocircuito.

Eseguendo l’operazione contraria, ovvero portando la resistenza a $+\infty$, si può simulare un generatore di corrente spento. Questo dimostra che un generatore di corrente con $𝐼=0$ è equivalente a un resistore con $𝑅=+\infty$ e quindi a un circuito aperto.

Partitore di tensione

Preso un generatore di tensione ($𝑉$) collegato in serie a due resistenze ${𝑅}_1$ e ${𝑅}_2$. Vogliamo sapere qual è la tensione nel nodo ${𝑜}_1$, tra ${𝑅}_1$ e ${𝑅}_2$.

┌───┐
│+  R_1
V   ├────o_1
│-  R_2
└───┘

Dato che c’è solo una maglia, la corrente sarà uguale in tutti i punti. Inoltre so che $𝑉={𝑉}_{{𝑅}_1}+{𝑉}_{{𝑅}_2}=𝐼\left({𝑅}_1+{𝑅}_2\right)$:

Risolvendo il sistema si ottiene:

$${𝑉}_{{𝑜}_1}=𝑉\frac{{𝑅}_1}{{𝑅}_1+{𝑅}_2}$$

Questa formula è detta partitore di tensione.

Teorema di Thévenin

Per calcolare la differenza di potenziale tra ${𝑜}_1$ e ${𝑜}_2$ alimentata da un circuito composto da un certo numero di generatori e resistori, è sempre possibile trovare una rappresentazione equivalente costituita da un generatore di tensione equivalente (${𝑉}_{𝑡}$) e un resistore equivalente (${𝑅}_{𝑡}$) collegati in serie.

┌───R_1───┬────o_1       ┌──R_t──o_1
│+        │              │+
V_1       R_2       ─>  V_t
│-        │              │-
└─────────┴────o_2       └───────o_2
      <── I                 <── I

Questo è possibile perché resistori e generatori sono lineari. Bastano quindi semplici manipolazioni algebriche.

Passaggi:

1. Determiniamo il valore di ${𝑅}_{𝑡}$: per fare ciò, spegniamo il generatore di tensione (e quindi lo sostituiamo con un cortocircuito).

   Otteniamo così un circuito con due resistori in parallelo:

   ┌────┬────o_1
   │    │
   R_1  R_2
   │    │
   └────┴────o_2

Quindi in questo caso ${𝑅}_{𝑡}=\frac{1}{\frac{1}{{𝑅}_1}+\frac{1}{{𝑅}_2}}$.

2. Determiniamo la differenza di potenziale equivalente ${𝑉}_{𝑡}$ (partitore di tensione tra ${𝑅}_1$ e ${𝑅}_2$). Questa è la parte più complessa, ma vedremo in seguito che può essere evitata.

3. Determiniamo la corrente equivalente ${𝐼}_{𝑡}$, cortocircuitando il circuito tra ${𝑜}_1$ e ${𝑜}_2$.

   ┌────R_1──┬────o_1
   │+        │    │
   V_1       R_2  │
   │-        │    │
   └─────────┴────o_2
         <── I

In questo caso ${𝐼}_{𝑡}=\frac{{𝑉}_1}{{𝑅}_1}$.

Poiché vale sempre la legge di Ohm (${𝑉}_{𝑡}={𝑅}_{𝑡}{𝐼}_{𝑡}$), abbiamo due modi per calcolare ${𝑉}_{𝑡}$. Ciò consente di evitare i calcoli del punto 2, che tendono a essere i più complessi.

Teorema di Norton

Dato un circuito composto da resistori e generatori, lo si può sempre rappresentare come un generatore di corrente in parallelo a un resistore equivalente.

┌────┬────o_1
│    │
I_n  R_n
│    │
└────┴────o_2